数学B / 漸化式と数学的帰納法

隣接3項間漸化式(異なる2解)

★★★★ 難関3項間漸化式特性方程式

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 4$ 、 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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$3$ 項間漸化式は特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ を解く。異なる $2$ 解が出たら、一般項は $A \cdot (解_{1})^{n} + B \cdot (解_{2})^{n}$ の形。初項・第 $2$ 項で係数決定。

解答・解説

特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ の解 $x = 2, 3$ を使い、 $a_{n} = A \cdot 2^{n - 1} + B \cdot 3^{n - 1}$ とおく。 $a_{1}, a_{2}$ の条件から $A, B$ を連立で決める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ のような $3$ 項間漸化式は、 $2$ つの等比数列の重ね合わせで書ける。

その公比を教えてくれるのが特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ 。 $2$ 次方程式の係数が、漸化式の係数 $5, - 6$ にそのまま対応する。

解くと $x = 2, 3$ の異なる $2$ 解。だから一般項は $a_{n} = A \cdot 2^{n - 1} + B \cdot 3^{n - 1}$ の形になる。

あとは $a_{1}, a_{2}$ の値を代入して、 $A, B$ を連立で決めるだけ。

定理

3

項間漸化式

a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}

の特性方程式は

x^{2} = p x + q

。異なる

2

解

α, β

のとき

a_{n} = A α^{n - 1} + B β^{n - 1}

① 特性方程式。 $x^{2} = 5 x - 6$ 、すなわち $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ より $x = 2, 3$ 。よって

$a_{n} = A \cdot 2^{n - 1} + B \cdot 3^{n - 1}$

② 係数を決める。 $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 4$ より

$A + B = 1, 2 A + 3 B = 4$

第 $2$ 式 $-$ 第 $1$ 式 $\times 2$ : $B = 2$ 。よって $A = - 1$ 。

③ 一般項。

$a_{n} = - 2^{n - 1} + 2 \cdot 3^{n - 1}$

(検算: $a_{1} = - 1 + 2 = 1$ 、 $a_{2} = - 2 + 6 = 4$ 。)

まとめ: $3$ 項間漸化式は「特性方程式 → 異なる $2$ 解なら $A α^{n - 1} + B β^{n - 1}$ 」。 $2$ 解 $2, 3$ を公比とみて、初項・第 $2$ 項で係数を連立。重解の場合は形が変わる(そのときは別扱い)。

発展 — 一歩先へ。 さらに視点を上げると、 $(a _{n} a _{n + 1})$ を次々に送る線形変換とみたとき、特性方程式の $2$ 解 $2, 3$ はその行列の固有値にあたる。

一般項が「固有値の $n$ 乗の重ね合わせ」になるのは、対角化して各固有方向に分けて考えられるからだ。

$3$ 項間にかぎらず、線形漸化式の一般項はいつでも特性方程式(固有方程式)の解で決まる。異なる解なら累乗の和、重解なら $n$ 倍の項がつく、という違いも固有値の重複度で説明できる。

答

$a_{n} = - 2^{n - 1} + 2 \cdot 3^{n - 1}$

別解 — $2$ 通りの因数分解で解く(特性方程式の正体)。 特性方程式を暗記せずとも、漸化式そのものを因数分解すれば公比が見える。

$a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ は $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 3 (a_{n + 1} - 2 a_{n})$ と書ける。右辺を展開すると $3 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ で、確かに一致する。

これは「 $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ が公比 $3$ の等比数列」を意味する。 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ とおくと $b_{1} = a_{2} - 2 a_{1} = 2$ だから $b_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ 。

同じ式を $a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - 3 a_{n})$ とも因数分解できる。 $c_{n} = a_{n + 1} - 3 a_{n}$ とおくと $c_{1} = 1$ で $c_{n} = 2^{n - 1}$ 。

$2$ つの式を引き算すると $b_{n} - c_{n} = (a_{n + 1} - 2 a_{n}) - (a_{n + 1} - 3 a_{n}) = a_{n}$ 。よって

$a_{n} = b_{n} - c_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n - 1} .$

特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ の $2$ 解 $2, 3$ は、この $2$ 通りの因数分解の公比そのもの。だから「 $2$ 解を公比とする等比の重ね合わせ」で一般項が書けた。

特性方程式を $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ のように定数項の符号を誤り、解を取り違える。
一般項を $A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$ ( $n$ 乗)とおき、初項 $a_{1}$ との対応( $n - 1$ 乗)を混同して係数を誤る。
$a_{1}, a_{2}$ の $2$ 条件のうち片方だけで $A, B$ を決めようとし、連立を立て損ねる。