隣接する項の比の極限(黄金比)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 比 $r_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ 自身の漸化式を作りたい。$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ の両辺を $F_{n+1}$ で割ると、$r_{n+1}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=1+\frac{1}{r_n}$ が得られる。

比だけの漸化式が立った。極限 $r$ が存在すれば、両辺で $n\to \infty$ として $r=1+\frac{1}{r}$。

これを整理すると $r^2=r+1$。正の解が黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ だ。

① 比の漸化式。 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ の両辺を $F_{n+1}$($>0$)で割ると $$r_{n+1}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=1+\frac{1}{r_n}.$$ ② 極限の方程式。 $r_n\to r$ とすると、$r_{n+1}=1+\frac{1}{r_n}$ で $n\to \infty$ として $$r=1+\frac{1}{r}.⟹r^2=r+1.$$ ③ 正の解。 $r^2-r-1=0$ の解は $r=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。$r_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}>0$ だから $r>0$、よって $$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(=\phi ,\text{黄金比}).$$

まとめ 比の漸化式 $r_{n+1}=1+\frac{1}{r_n}$ の不動点が極限。$r=1+\frac{1}{r}$ を解いて黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。フィボナッチ数の隣接比は黄金比に近づく。漸化式と極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 黄金比 $\phi$ は、無限連分数がすべて $1$ という「最も単純な」形をもつ。この単純さゆえに $\phi$ は有理数で最も近似しにくい無理数(最も無理数らしい数)とされ、ヒマワリの種の配置や葉序が $\phi$ に関係する黄金角 $\frac{360^{\circ }}{{\phi }^2}\approx 137.5^{\circ }$ を選ぶ理由にもなっている。

別解

別解 — 無限連分数として読む(得意な人向けの高い視点)。 漸化式 $r_{n+1}=1+\frac{1}{r_n}$ を、代入し続けてみる。

$$r=1+\frac{1}{r}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{r}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\ddots }}}.$$

$1$ だけが並ぶ無限連分数だ。この値 $r$ は自分自身を含む方程式 $r=1+\frac{1}{r}$、すなわち $r^2-r-1=0$ を満たし、正の解 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$。

しかも $r_n$ は $\phi$ を上と下から交互にはさみながら近づく($r_1=1<\phi$、$r_2=2>\phi$、$r_3=1.5<\phi$、$\dots$)。連分数を途中で打ち切った近似値がフィボナッチ比 $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ そのものだから、比の収束と連分数は同じ現象を見ている。