分数型(等差数列に帰着)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$ は、分子にも分母にも $a_n$ がいて、そのままでは動かしにくい。

分数型の漸化式は、逆数をとると急に見通しがよくなることが多い。まず $\frac{1}{a_{n+1}}$ を作ってみる。

計算すると $\frac{2a_n+1}{a_n}=2+\frac{1}{a_n}$。$\frac{1}{a_n}$ の世界では、これはただの等差数列だ。

そこで $b_n=\frac{1}{a_n}$ とおいて解き、最後に逆数を戻す。

① 両辺の逆数をとる。

$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2a_n+1}{a_n}=2+\frac{1}{a_n}$$

② 置きかえる。 $b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと

$$b_{n+1}=b_n+2$$

公差 $2$ の等差数列。初項 $b_1=\frac{1}{a_1}=1$。

③ $b_n$ を求める。

$$b_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$$

④ $a_n$ に戻す。

$$a_n=\frac{1}{2n-1}$$

まとめ:分数型は逆数変換。$b_n=\frac{1}{a_n}$ が今回は等差数列(公差 $2$)になった。分母が $2a_n+1$ のように「$a_n$ の係数 + 定数」の形だと、逆数で $2+\frac{1}{a_n}$ ときれいに分かれる。

発展 — 一歩先へ。 逆数がきれいに等差になったのは偶然ではない。この漸化式は、連続の世界の微分方程式 $a^{\prime }=-2a^2$ とそっくりの形をしている。

その微分方程式を解くと $a=\frac{1}{2t+C}$。逆数 $\frac{1}{a}=2t+C$ は $1$ 次式、つまり傾き一定でまっすぐ増える。$\frac{1}{a_n}=2n-1$ が公差 $2$ の等差なのは、この「傾き $2$ で増える」の離散版だ。

実際 $a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{2a_n+1}-a_n=\frac{-2a_n^2}{2a_n+1}$ で、$a_n$ が小さいほど $-2a_n^2$ に近い。漸化式は微分方程式を $1$ 歩ずつ刻んだもの、と見ると増え方の正体が見える。

別解

別解 — 数学的帰納法で証明として仕上げる(得意な人向けの証明ルート)。 逆数の変形という式変形の道具を使わず、証明の枠組みそのもので一般項を確定させる。

候補の式は $a_n=\frac{1}{2n-1}$($a_1=1$ がこの形に合う)。これがすべての $n$ で成り立つことを、帰納法で示す。

$n=1$ は上の通り成り立つ。$n=k$ で $a_k=\frac{1}{2k-1}$ を仮定し、$n=k+1$ を計算する。

$$a_{k+1}=\frac{a_k}{2a_k+1}=\frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2}{2k-1}+1}=\frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2k+1}{2k-1}}=\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2(k+1)-1}.$$

これは予想の $n=k+1$ の形そのもの。よってすべての $n$ で $a_n=\frac{1}{2n-1}$ が成り立つ。

本解と同じ答え。逆数変換を使わず、予想と帰納法だけでも同じ結論にたどり着ける。