等差数列と見抜く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}-a_n=4$ — 差が、いつでも $4$ で一定。

「差が一定」の数列を、何と呼んだか。 等差数列だ。

$$5\stackrel{+4}{\to }9\stackrel{+4}{\to }13\stackrel{+4}{\to }17\stackrel{+4}{\to }21$$

$a_{n+1}=a_n+4$ と書き直せば、いつもの形になる。

表現が変わっても、中身は同じ。 漸化式は

• $a_{n+1}=a_n+d$
• $a_{n+1}-a_n=d$

と、$2$ 通りの書き方をされる。移項しただけである。

「差の形で来たら、まず移項してみる」 — 見慣れた顔に戻せば、あとは公式に乗せるだけだ。

① 型を見抜く。 $a_{n+1}-a_n=4$(差が一定)なので、公差 $4$ の等差数列。

② 一般項を書く。 初項 $5$、公差 $4$。

$$a_n=5+(n-1)\times 4=4n+1$$

まとめ:漸化式が「差 = 一定」の形なら等差数列と即断できる。公差はその一定値。型さえ見抜けば公式に入れるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 「差をとる」という操作は、数列の次数を $1$ 下げる。

実験してみよう。 数列 $a_n=4n+1$($1$ 次式)の差をとる。

$$5,9,13,17,21\stackrel{\text{差}}{\to }4,4,4,4(\text{定数})$$

$1$ 回の差で、定数になった。

では、$2$ 次式ならどうか。 $a_n=n^2$ で試す。

$$1,4,9,16,25,36\stackrel{\text{差}}{\to }3,5,7,9,11\stackrel{\text{差}}{\to }2,2,2,2$$

$2$ 回の差で、定数。

$3$ 次式 $a_n=n^3$ なら

$$1,8,27,64,125\to 7,19,37,61\to 12,18,24\to 6,6$$

$3$ 回の差で、定数($=6$)。

規則が見えた。

$$\boxed{k\text{ 次式の数列は、}k\text{ 回の差で定数になる}}$$

これは実用的な武器になる。

数表だけ与えられて「一般項を求めよ」と言われたとき、差を何回とれば定数になるかを調べれば、次数が分かる。

例。 $2,6,12,20,30,\dots$ の一般項は?

$$\stackrel{\text{差}}{\to }4,6,8,10\stackrel{\text{差}}{\to }2,2,2$$

$2$ 回で定数 → $2$ 次式。

$a_n=A{n}^2+Bn+C$ と置いて、$3$ 点を代入すれば決まる($a_n=n^2+n$ になる)。

この技法を階差法という。 ニュートンが補間公式として体系化したもので、数表から法則を見つける古典的な方法だ。

差をとると次数が下がり、和をとると次数が上がる。 微分と積分の関係と、まったく同じ構造である。

離散の世界の微積分 — それが数列の差と和なのだ。

別解

等差数列を、「階差型の特別な場合」として解く。

階差型の公式は、こうだった。

$$a_{n+1}-a_n=f(n)⟹a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)(n\geqq 2)$$

この問題では $f(n)=4$ — 定数だ。

$$a_n=5+\sum _{k=1}^{n-1}4$$

$4$ を $n-1$ 個足すのだから

$$\sum _{k=1}^{n-1}4=4(n-1)$$

$$a_n=5+4(n-1)=4n+1$$

公式と同じ答え ✓

ここで気づいてほしい。

$$a_n=\underset{a_1}{\underbrace{5}}+\underset{d\times (n-1)}{\underbrace{4(n-1)}}$$

これは、等差数列の一般項の公式そのものだ。

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

つまり、等差数列の公式は、階差型の公式で $f(n)=$ 定数とした場合にほかならない。

なぜ差を足し上げると元に戻るのか。 実際に並べてみよう。

$$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$$

隣どうしが打ち消し合う。 $-a_2$ と $+a_2$、$-a_3$ と $+a_3$ $\dots$

$$=a_n-a_1$$

残るのは両端だけ。 望遠鏡を畳むように、途中がすべて消える。

$$a_n=a_1+(\text{差の総和})$$

これが階差型の公式の正体である。

この視点の価値。 等差・等比・階差を、バラバラの公式として覚える必要がなくなる。

「差が一定 → 等差」も「差が $n$ の式 → 階差型」も、$1$ つの原理($=$ 差を足し上げれば元に戻る)の現れだと分かる。

公式が $3$ つあるのではない。原理が $1$ つあるだけだ。