和 Sₙ の漸化式から一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられたのは項と和の混ざった式 $S_n=2a_n-n$。このままではどちらも分からない。

橋渡しは $a_n=S_n-S_{n-1}$($n\geqq 2$)。$S_n=2a_n-n$ と $S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)$ を辺々引くと、$S$ が消えて

$$a_n=2a_n-2a_{n-1}-1⟺a_n=2a_{n-1}+1$$

$a_n$ だけの漸化式に変わる。初項は $S_1=a_1$ から $a_1=2a_1-1$、つまり $a_1=1$。「$S$ 入りの式は、$1$ つ前と引き算して $S$ を消す」が定跡だ。

① 初項を求める。 $S_1=a_1$ なので $a_1=2a_1-1$、よって $a_1=1$。

② 漸化式を作る($n\geqq 2$)。 $a_n=S_n-S_{n-1}$ に代入。

$$a_n=(2a_n-n)-\{2a_{n-1}-(n-1)\}=2a_n-2a_{n-1}-1$$

③ 整理する。

$$a_n-2a_n=-2a_{n-1}-1\Rightarrow -a_n=-2a_{n-1}-1\Rightarrow a_n=2a_{n-1}+1$$

④ 特性方程式型を解く。 $\alpha =2\alpha +1$ より $\alpha =-1$。$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$。初項 $a_1+1=2$。

$$a_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n\Rightarrow a_n=2^n-1$$

まとめ:$S_n$ の関係式は「$a_n=S_n-S_{n-1}$」で $a$ の漸化式に直す。ここでは特性方程式型 $a_n=2a_{n-1}+1$ が出た。初項 $a_1=S_1$ を別に求めるのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 答えの検算は条件式で。$a_n=2^n-1$ なら $S_n=(2+4+\cdots +2^n)-n=2^{n+1}-2-n$、一方 $2a_n-n=2^{n+1}-2-n$ — 確かに一致する。「$S$ と $a$ の関係式が条件の問題は、最後に条件式へ戻して確かめる」と安心だ。

$1,3,7,15,\dots$($2^n-1$)は、分数型の漸化式の分母にも、ハノイの塔にも現れた顔なじみ。同じ数列が違う問題の答えとして再登場するのは、背後の構造(倍々 $+1$)が同じだから — 数列の学習が進むほど、この「再会」が増えていく。

別解

条件式から具体の項を順に絞り出して、答えの形を先に見てしまう手がある。

• $n=1$: $S_1=a_1=2a_1-1$ より $a_1=1$
• $n=2$: $a_1+a_2=2a_2-2$ より $1=a_2-2$、$a_2=3$
• $n=3$: $1+3+a_3=2a_3-3$ より $a_3=7$
• $n=4$: 同様に $a_4=15$

$1,3,7,15$ — それぞれに $1$ を足すと $2,4,8,16$。$1$ 足すと倍々だ。$a_n=2^n-1$ と予想できる。

この観察は、漸化式 $a_n=2a_{n-1}+1$ を変形した $a_n+1=2(a_{n-1}+1)$ の姿そのもの。$\{a_n+1\}$ が公比 $2$ の等比数列(初項 $2$)だから $a_n+1=2^n$。

予想 → 構造($+1$ で等比)の発見 → 証明、という流れは、特性方程式の答え($\alpha =-1$)を実験が先取りしている形だ。