階差型(部分分数の階差)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ だから、これは階差が分数で与えられた型だ。

階差型は、初項に階差を次々足していけば一般項が出る。$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}$ の形になる。

問題はこの和。$\frac{1}{k(k+1)}$ は部分分数に分けると、隣どうしが打ち消し合う望遠鏡の形だ。

「階差型の復元」と「部分分数の望遠鏡和」、$2$ つの道具を続けて使うと見通せる。

① 階差を確かめる。 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n(n+1)}$。

② 和で一般項を出す($n\geqq 2$)。

$$a_n=2+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}$$

③ 部分分数で和を計算する。 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。telescoping で

$$\sum _{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n}$$

よって

$$a_n=2+(1-\frac{1}{n})=3-\frac{1}{n}$$

④ $n=1$ を確認する。 $a_1=3-1=2$ で一致。

$$a_n=3-\frac{1}{n}$$

まとめ:階差が分数のときは、階差の和を部分分数の telescoping で求める。「漸化式 → 階差の和 → 部分分数」と道具が連鎖する。$n\to \infty$ で $a_n$ は $3$ に近づく(収束する)。

発展 — 一歩先へ。 望遠鏡和がうまくいくのは、$\frac{1}{k(k+1)}$ が $-\frac{1}{k}$ の「差分」だからだ。$g(k)=-\frac{1}{k}$ とおくと $g(k+1)-g(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}$ となる。

差分を足し合わせると両端だけが残る。これは連続の世界で「微分したものを積分すると元に戻る」のと同じ仕組みで、和の基本定理と呼べる。$-\frac{1}{k}$ は $\frac{1}{k(k+1)}$ の離散版の原始関数にあたる。

$n$ を限りなく大きくすると $a_n=3-\frac{1}{n}$ は $3$ に近づく。これは ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=1$ が収束し、初項 $2$ に足されて $3$ になる、ということでもある。

別解

別解 — 変わらない量を見つける(得意な人向けの視点)。 和を計算せずとも、$n$ が進んでも変わらない量に気づけば一発だ。

部分分数で $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。これを漸化式に入れると

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$

右辺の $\frac{1}{n}$ を左へ移すと $a_{n+1}+\frac{1}{n+1}=a_n+\frac{1}{n}$。つまり $a_n+\frac{1}{n}$ は $n$ によらず一定だ。

その値は初項で決まり、$a_1+\frac{1}{1}=2+1=3$。よって $a_n+\frac{1}{n}=3$、すなわち

$$a_n=3-\frac{1}{n}.$$

本解と同じ答え。和を足し上げるかわりに、$a_n+\frac{1}{n}$ という保存量をつかまえたのがこのルートだ。