数学B / 漸化式と数学的帰納法

2乗の漸化式を対数で開く

最難関編対数化特性方程式

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2}$ で定める。一般項 $a_{n}$ を求めよ。

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$a_{n + 1}$ が $a_{n}$ の2乗に比例する — 掛け算と累乗の混ざった漸化式を、足し算と掛け算の漸化式(見慣れた型)に変換する道具は何か。全部の項が正であることを確かめてから使うこと。

解答・解説

方針

2乗が入る漸化式は、そのままでは追えないが全項が正なので対数がとれる。b_n=log₂a_n とおくと b_{n+1}=2b_n+1 — 特性方程式型の1次漸化式に変わり、b_n+1 が等比になって b_n=2ⁿ−1。指数に戻して完成。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2}$ は2乗のせいで、繰り返すと指数が雪だるま式に増える。多項式的な変形では追えない。

だが右辺は積と累乗だけでできている。積・累乗を和・積に変える道具は対数だ。全項が正( $a_{1} = 2 > 0$ から帰納的に明らか)だから、 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおけて

$b_{n + 1} = lo g_{2} (2 a_{n}^{2}) = 1 + 2 lo g_{2} a_{n} = 2 b_{n} + 1$

見慣れた特性方程式型に変わった。あとは定石どおり解いて、最後に指数の世界へ戻せばよい。

重要積と累乗だけの漸化式は対数で「1次の漸化式」に開く(全項が正であることの確認が前提)。

b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1

は

b_{n} + 1

が等比

① 正であることと対数化。 $a_{1} = 2 > 0$ で、 $a_{n} > 0$ なら $a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} > 0$ — 帰納的に全項正。 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおくと

$b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1, b_{1} = lo g_{2} 2 = 1$

② 特性方程式型を解く。 $x = 2 x + 1$ より $x = - 1$ 。 $b_{n + 1} + 1 = 2 (b_{n} + 1)$ だから ${b_{n} + 1}$ は初項 $b_{1} + 1 = 2$ 、公比2の等比数列:

$b_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} ⟹ b_{n} = 2^{n} - 1$

③ 指数に戻す。

$a_{n} = 2^{b_{n}} = 2^{2^{n} - 1}$

検算: $a_{1} = 2^{1} = 2$ ✓、 $a_{2} = 2 \cdot 4 = 8 = 2^{3} = 2^{2^{2} - 1}$ ✓、 $a_{3} = 2 \cdot 64 = 128 = 2^{7}$ ✓。

まとめ: 「積・累乗の漸化式は対数で開く」— 変換すれば教科書の特性方程式型、戻せば $2^{2^{n} - 1}$ という二重指数。増え方の桁が違う数列( $a_{4} = 2^{15} = 32768$ 、 $a_{5} = 2^{31}$ …)の正体を、対数が一枚で説明してくれる。

発展 — 一歩先へ。 $a_{n} = 2^{2^{n} - 1}$ は二重指数で、桁数そのものが毎回ほぼ倍になる( $a_{10}$ は約 $308$ 桁)。「2乗する漸化式は情報量(桁数)を倍にする」— この増え方は、方程式の数値解法(ニュートン法)が1回の反復で正しい桁数を倍にしていく「2次収束」と同じリズムだ。

答

$a_{n} = 2^{2^{n} - 1}$

別解

指数だけを追って帰納法(対数を使わないルート)。 数項を計算して、 $2$ の指数に注目する:

$a_{1} = 2^{1}, a_{2} = 2 \cdot (2^{1})^{2} = 2^{3}, a_{3} = 2 \cdot (2^{3})^{2} = 2^{7}, a_{4} = 2 \cdot (2^{7})^{2} = 2^{15}$

指数は $1, 3, 7, 15$ — どれも「 $2$ のべき $- 1$ 」だ。そこで $a_{n} = 2^{2^{n} - 1}$ と予想して帰納法にかける:

$a_{n + 1} = 2 (2^{2^{n} - 1})^{2} = 2^{1 + 2 (2^{n} - 1)} = 2^{2^{n + 1} - 1}$

指数の計算 $1 + 2 (2^{n} - 1) = 2^{n + 1} - 1$ だけで帰納が閉じる。

対数化(本解)は「なぜ特性方程式型になるのか」まで説明してくれる王道、指数の帰納法は予想さえ立てば最短の脇道。 $b_{n} = 2^{n} - 1$ という本解の中間結果が、こちらでは指数の列としてじかに見えている。

ポイント

全項正を確認して $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ 。
$b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ → $b_{n} = 2^{n} - 1$ 。
$a_{n} = 2^{2^{n} - 1}$ (二重指数の増え方)。

よくある間違い

対数をとる前に「全項が正」の確認を書かない(対数化の前提)。
$lo g_{2} (2 a_{n}^{2})$ の展開で $2 lo g_{2} a_{n}$ の2倍を落とす、または $lo g_{2} 2 = 1$ を忘れる。
$b_{n} = 2^{n} - 1$ から $a_{n} = 2^{2^{n}} - 1$ と書く(指数の位置事故。 $2^{b_{n}}$ の肩に全体が乗る)。