漸化式から項を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 聞かれているのは $a_4$ ひとつだけだ。

一般項を求める必要はない。

漸化式は「次の項の作り方」なのだから、$a_1$ から順に $3$ 回進めば $a_4$ に着く。

$$a_1\to a_2\to a_3\to a_4$$

式を解くより、手を動かすほうが速い。

「漸化式 $=$ 一般項を求めるもの」と決めつけない。有限個でよいなら、逐次計算で足りる。 この割り切りも、立派な判断である。

注意は $1$ 点だけ。 $a_{n+1}=a_n+n$ の $n$ は、毎回変わる。$a_2$ を作るときは $n=1$、$a_3$ を作るときは $n=2$ — 添字を取り違えないことだ。

$a_{n+1}=a_n+n$ に $n=1,2,3$ を順に入れる。

$$a_2=a_1+1=1+1=2$$

$$a_3=a_2+2=2+2=4$$

$$a_4=a_3+3=4+3=7$$

よって $a_4=7$。

まとめ:「第 $4$ 項だけ」なら、一般項を求めるより順に代入するのが速い。$a_{n+1}=a_n+n$ の $n$ に、$a_2$ を出すときは $1$、$a_3$ は $2$、と正しく合わせるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 この数列 $1,2,4,7,11,16,\dots$ には、おいしい正体がある。

ケーキを直線で切る問題。

丸いケーキを、まっすぐ $1$ 回切ると $2$ 切れ。$2$ 回切ると、うまく切れば $4$ 切れ。$3$ 回では?

$1$ 回目の切り口と平行に切ると $4$ 切れにしかならない。だが、すでにある $2$ 本の切り口を両方またぐように切ると $7$ 切れになる。

$n$ 回切ったときの最大の切れ数を $R_n$ とすると

$$R_0=1,R_1=2,R_2=4,R_3=7,R_4=11,\dots$$

この問題の数列と、ぴったり同じだ。

なぜ漸化式が同じになるのか。

$n$ 本目の直線を引くとき、既にある $n-1$ 本すべてと交わるように引くのが最大だ。すると新しい直線は $n-1$ 個の交点で区切られ、$n$ 個の区間に分かれる。

その $n$ 個の区間が、それぞれ既存の領域を $1$ つずつ $2$ 分割する。

$$R_n=R_{n-1}+n$$

「$n$ 本目を引くと、領域は $n$ 個増える」 — これがこの問題の $a_{n+1}=a_n+n$ の正体である。

$$R_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$$

$10$ 回切れば、最大 $56$ 切れ。

同じ漸化式が、まったく違う問題から現れる。 これが数学の面白いところだ。「$1$ ずつ増える量を足していく」という構造さえ同じなら、ケーキだろうと数列だろうと、答えは同じ式になる。

構造が同じなら、答えも同じ。 数学が"抽象"を大事にするのは、$1$ つ解けば全部解けるからである。

別解

一般項を求めてから、$n=4$ を代入する。

遠回りに見えるが、「第 $100$ 項は?」と聞かれたら、こちらが必要になる。

① 階差型として解く。

$$a_{n+1}-a_n=n$$

階差は $f(n)=n$。$n\geqq 2$ で

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}k=1+\frac{(n-1)n}{2}$$

② 検算する。

$$a_4=1+\frac{3\times 4}{2}=1+6=7✓$$

逐次計算と同じ答え。

この一般項の中身を見てみよう。

$$\frac{(n-1)n}{2}=1+2+\cdots +(n-1)$$

これは三角数だ。 点を三角形に並べたときの個数である。

$$1,3,6,10,15,\dots$$

つまり

$$a_n=1+(\text{三角数})$$

数列そのものを書き出すと

$$1,2,4,7,11,16,22,\dots$$

差が $1,2,3,4,\dots$ と $1$ ずつ増える数列である。

どちらを使うか、の判断。

• $a_4$ だけ → 逐次計算($3$ 回の足し算で終わる)
• $a_{100}$ が欲しい → 一般項($99$ 回足すのは現実的でない)

$$a_{100}=1+\frac{99\times 100}{2}=1+4950=4951$$

逐次計算なら $99$ 回。一般項なら $1$ 行。

「小さい $n$ なら手を動かす、大きい $n$ なら式を作る」 — この使い分けが、漸化式との正しい付き合い方だ。