2乗で増える数列と単位分数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 数列は $2,3,7,43,1807,\dots$ と爆発的に増える。一般項は望めない。だが問われているのは逆数の和だ。

漸化式の両辺から1を引いてみる:

$$a_{n+1}-1=a_n^2-a_n=a_n(a_n-1)$$

「次の項 $-1$」が「今の項 × (今の項 $-1$)」に因数分解された。積の逆数は部分分数で差に割れる。$\frac{1}{a_n}$ が「隣り合う量の差」にほどけて、和が望遠鏡式に消える寸法だ。

① (1) を示す。 上の変形から

$$\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n(a_n-1)}=\frac{a_n-1}{a_n(a_n-1)}=\frac{1}{a_n}$$

($a_n\ge 2$ が帰納的に成り立つので分母は0にならない: $a_n\ge 2$ なら $a_{n+1}=a_n(a_n-1)+1\ge 2\cdot 1+1=3$。)

② (2) 望遠鏡和。 (1)を $k=1$ から $n$ まで足すと、間が消えて

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}$$

($a_1-1=1$。)

③ 1未満であること。 $a_{n+1}\ge 3$ より $\frac{1}{a_{n+1}-1}>0$ だから

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}<1$$

実際 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}=1-\frac{1}{1806}$ — 和は1にどこまでも近づくが決して届かない。

まとめ: 「漸化式を引き算して因数分解 → 逆数を部分分数に → 望遠鏡」。この数列(2, 3, 7, 43, …)は「逆数の和が最速で1に迫る」ことで知られる有名な数列で、各項が『それまでの積+1』になっている($a_{n+1}-1=a_n{a}_{n-1}\cdots a_1$ も同じ変形から示せる)— 探検しがいのある構造だ。

発展 — 一歩先へ。 この数列(シルベスター数列)は「単位分数の和で1に迫る最速の列」として知られる。残りの隙間は $1-\sum =\frac{1}{a_{n+1}-1}$ で、$a_n$ が2乗のオーダーで増えるため、正しい桁数が毎回ほぼ倍増しながら1へ収束する。しかも各ステップで選んでいるのは「足しても1を超えない最大の単位分数」— 貪欲法そのものだ。

別解

「それまでの積 $+1$」を主役にする(積の恒等式ルート)。 鍵の変形 $a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$ を繰り返し使うと、$a_n-1$ がさらに割れていく:

$$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)=a_n{a}_{n-1}(a_{n-1}-1)=\cdots =a_n{a}_{n-1}\cdots a_1(a_1-1)=a_1{a}_2\cdots a_n$$

($a_1-1=1$。)つまりこの数列は「次の項 $=$ それまでの積 $+1$」で成長している($2\cdot 3+1=7$、$2\cdot 3\cdot 7+1=43$ ✓)。

すると逆数の和は、帰納法で

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

と書ける($n=1$: $\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$ ✓。$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{\text{積}+1}$ を足すと分母が更新される)。$a_1\cdots a_n=a_{n+1}-1$ だから、本解の式と完全に一致する。

部分分数(本解)は機械的に強く、積の恒等式は数列の設計思想(積 $+1$)まで見せてくれる。$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\cdots$ が1へ猛烈な速さで迫る理由は、分母が毎回「それまでの積」で膨らむからだ。