数学B / 漸化式と数学的帰納法

等差型の漸化式

★ 基礎漸化式等差数列

問題

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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漸化式が『前の項に同じ数を足す』形。これはよく知っている数列そのもの — 名前が分かれば一般項の公式に乗せられる。

解答・解説

方針

$a_{n + 1} = a_{n} + 3$ は「となりの項が $3$ ずつ増える」、つまり公差 $3$ の等差数列。初項 $2$ 、公差 $3$ の一般項を書く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸化式とは「次の項の作り方」を書いたルールブックだ。

$a_{n + 1} = a_{n} + 3$ は、今の項に $3$ を足すと、次の項になると言っている。

まず、実際に作ってみよう。

$2, 5, 8, 11, 14, \dots$

$3$ ずつ増えている。これは等差数列そのものだ。

漸化式を見たら、まず「どの基本型か」を判定する。足すのか、掛けるのか。 ここでは足しているので、等差。

知っている数列に翻訳できれば、あとは公式に乗せるだけ。 これがこの単元すべての出発点である。

公式

a_{n + 1} = a_{n} + d

は公差

d

の等差数列。一般項

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

① 型を見抜く。 $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ は「毎回 $3$ 足す」ので、公差 $3$ の等差数列。

② 一般項を書く。 初項 $2$ 、公差 $3$ 。

$a_{n} = 2 + (n - 1) \times 3 = 3 n - 1$

まとめ: $a_{n + 1} = a_{n} + (定数)$ を見たら等差数列。公差はその定数。漸化式の一番やさしい型で、等差の一般項の公式に入れるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 漸化式は、たかが「次の項の作り方」だ。だが、これが現代科学の中核にある。

世界を記述する式は、たいてい「変化のルール」の形をしている。

物体の運動: 今の速度から、次の瞬間の位置が決まる
人口: 今の人口から、来年の人口が決まる
気温: 今の状態から、 $1$ 分後の状態が決まる

「今の状態 → 次の状態」 — これはまさに漸化式の形だ。

連続的に扱えば微分方程式になる。

$\frac{d a}{d n} = 3 ⟺ a_{n + 1} - a_{n} = 3$

左は微分方程式、右は漸化式。 言っていることは同じで、変化率が $3$ で一定である。

そして解も同じ形になる。

$a (n) = 3 n + C a_{n} = 3 n - 1$

コンピュータは、微分方程式をそのままでは解けない。 だから漸化式に直して、 $1$ ステップずつ計算する。これをオイラー法という。

$a_{next} = a_{now} + (変化率) \times (刻み幅)$

天気予報も、ロケットの軌道計算も、ゲームの物理エンジンも、この $1$ 行を何百万回も繰り返している。

$a_{n + 1} = a_{n} + 3$ 。 この素朴な式は、世界をシミュレートする方法の、いちばん簡単な例なのだ。

答

$a_{n} = 3 n - 1$

別解

公式を思い出せないときは、「グラフにする」と見えてくる。

項を書き出し、点として打つ。 横軸に番号 $n$ 、縦軸に値 $a_{n}$ をとる。

$(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11), (5, 14), \dots$

この $5$ 点は、一直線に並ぶ。 $1$ 進むごとに、必ず $3$ 上がるからだ。

直線なら、式は $1$ 次式である。

$a_{n} = 3 n + c$

傾き $3$ は「 $1$ 進むと $3$ 増える」こと、つまり公差そのものだ。

あとは切片 $c$ を決めればよい。 $n = 1$ のとき $a_{1} = 2$ だから

$3 \times 1 + c = 2 ⟹ c = - 1$

$a_{n} = 3 n - 1$

公式と同じ答えが出た。

確かめる。 $n = 1$ で $2$ 、 $n = 4$ で $11$ ✓

この見方の利点。 「 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ の $n - 1$ は $n$ だったか?」と迷わずに済む。直線の式を立てて、 $1$ 点通せばいいだけだ。

そして、この見方は本質を突いている。

等差数列 $=$ $1$ 次関数の、飛び飛びの値。

$y = 3 x - 1 の x = 1, 2, 3, \dots だけを見たもの$

公差 $=$ 傾き。 この対応を覚えておくと、等差数列の問題は「直線の問題」に化ける。

たとえば「第 $5$ 項が $14$ 、第 $9$ 項が $26$ の等差数列」なら、 $2$ 点 $(5, 14)$ 、 $(9, 26)$ を通る直線を求めればよい。傾きは

$\frac{26 - 14}{9 - 5} = 3$

公差 $3$ が、 $2$ 点の傾きとして出てくる。

ポイント

$a_{n + 1} = a_{n} + d$ は公差 $d$ の等差数列。
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ に代入。

よくある間違い

$a_{n} = 2 + 3 n$ としてしまう( $n = 1$ で $5$ になり、初項が合わない)。公差を足す回数は $n - 1$ 回
「 $a_{n + 1}$ 」を「 $a_{n}$ の次の項」ではなく「 $a_{n}$ に $1$ を足したもの」と読み違える。添字の $n + 1$ は"番号"であって値ではない
初項 $a_{1}$ を $0$ 番目と勘違いして、 $a_{n} = 2 + 3 n$ と書いてしまう。番号は $1$ から始まっていることを、必ず最初に確認する