数学B / 漸化式と数学的帰納法

特性方程式型(引き算)

★ 基礎漸化式特性方程式

問題

$a_{1} = 3$ 、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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『 $3$ 倍して定数を引く』型。両辺から同じ数を引くと等比の形に直せる — その数は、 $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を同じ文字とみなした方程式から見つかる。

解答・解説

方針

特性方程式 $α = 3 α - 4$ を解いて $α = 2$ 。 $a_{n + 1} - 2 = 3 (a_{n} - 2)$ と変形し、 ${a_{n} - 2}$ を等比数列とみる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ — 掛けて、引く。 前に見た $2 a_{n} + 1$ と同じ仲間だ。

形は $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 。 $p = 3$ 、 $q = - 4$ 。

符号が変わっても、手順はまったく同じである。

特性方程式 $α = 3 α - 4$ を解く。 $α = 2$ 。

すると

$a_{n + 1} - 2 = 3 (a_{n} - 2)$

$a_{n} - 2$ が、公比 $3$ の等比数列になる。

この $2$ という数の意味を、味わっておこう。 もし $a_{1} = 2$ だったら、 $3 \times 2 - 4 = 2$ — 永遠に $2$ のまま動かない。

$α$ は「動かない値」なのだ。 そこからのズレだけを追えばよい。それが特性方程式型の見通しである。

重要特性方程式

α = p α + q

の解

α

で、

a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)

① 特性方程式を解く。 $α = 3 α - 4$ より $2 α = 4$ 、 $α = 2$ 。

② $α$ を引いて等比の形に。

$a_{n + 1} - 2 = 3 (a_{n} - 2)$

③ 置きかえて等比数列に。 $b_{n} = a_{n} - 2$ とおくと $b_{n + 1} = 3 b_{n}$ 。初項 $b_{1} = a_{1} - 2 = 1$ 。

$b_{n} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}$

④ $a_{n}$ に戻す。 $a_{n} = b_{n} + 2$ 。

$a_{n} = 3^{n - 1} + 2$

まとめ:引き算( $- 4$ )でも手順は同じ。特性方程式で不動点 $α = 2$ を出し、そこからのズレ $a_{n} - 2$ を等比数列とみる。 $α$ が答えの「定数部分」になる。

発展 — 一歩先へ。 不動点には「安定」と「不安定」の $2$ 種類がある。

この問題の不動点は $2$ 、そしてズレは $3$ 倍ずつ拡大した。

$d_{n + 1} = 3 d_{n}$

もし初項がぴったり $2$ なら、永遠に $2$ のまま。 だが、ほんのわずかでもズレると、たちまち吹き飛ぶ。

$a_{1} = 2.001 ⟹ ズレ 0.001 \times 3^{n - 1} ⟹ 20 歩で 1000 以上$

これを不安定な不動点という。

イメージは、鉛筆を立てること。 完璧に垂直なら立ち続ける。だが $1$ 度でも傾けば、傾きはどんどん大きくなって倒れる。

逆に、係数の絶対値が $1$ より小さいと?

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1 (不動点 α = 2)$

ズレは半分ずつになる。 どこから始めても、 $2$ に吸い寄せられる。これが安定な不動点だ(次の問題で扱う)。

すり鉢の底に置いたビー玉。 どこに置いても、転がって底に落ち着く。

$∣ p ∣ > 1 なら発散 (不安定), ∣ p ∣ < 1 なら収束 (安定)$

この $1$ 行が、力学系(時間とともに変化する系)の入り口である。

現実の例。

経済: 金利や物価が均衡点に戻るか、暴走するか
生態系: 個体数が安定するか、絶滅・爆発するか
気象: わずかな初期のズレが拡大する(バタフライ効果)

天気予報が $1$ 週間先までしか当たらないのは、まさにこれだ。 大気の運動は不安定な系で、観測のわずかな誤差が指数関数的に拡大する。

$a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ 。 この $1$ 行の中に、「予測できる世界」と「予測できない世界」を分ける境界が潜んでいる。

答

$a_{n} = 3^{n - 1} + 2$

別解

「 $2$ からのズレ」だけを追いかける。

特性方程式を"公式"としてでなく、"物語"として見る別解である。

① 動かない値を探す。

「もし、ある値 $α$ から始めたら、次もその $α$ のまま」— そんな都合のいい値はあるか。

$α = 3 α - 4 ⟹ α = 2$

確かめる。 $a_{n} = 2$ なら $a_{n + 1} = 3 \times 2 - 4 = 2$ ✓ 本当に動かない。

この $2$ を、不動点(動かない点)と呼ぶ。

② ズレを測る。

実際の初項は $a_{1} = 3$ 。不動点 $2$ より、 $1$ だけ上にいる。

$d_{n} = a_{n} - 2 (2 からのズレ)$

$d_{1} = 3 - 2 = 1$

③ ズレが、どう変化するかを見る。

$d_{n + 1} = a_{n + 1} - 2 = (3 a_{n} - 4) - 2 = 3 a_{n} - 6 = 3 (a_{n} - 2) = 3 d_{n}$

$d_{n + 1} = 3 d_{n}$

ズレは、毎回きっかり $3$ 倍になる。

$d_{n} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}$

④ ズレを、不動点に足し戻す。

$a_{n} = 2 + d_{n} = 3^{n - 1} + 2$

本解と同じ答え ✓

数列で確かめよう。

$3, 5, 11, 29, 83, \dots$

$ズレ : 1, 3, 9, 27, 81, \dots (3 の累乗!)$

きれいに $3$ 倍ずつ離れていく。

この見方が教えてくれること。

数直線の上に $2$ を打つ。 $a_{1} = 3$ は、そのすぐ右にいる。そして進むたびに、 $2$ から $3$ 倍の速さで右へ吹き飛んでいく。

$a_{n}$ が複雑に見えたのは、「 $2$ 」という基準がズレていたからだ。 基準を $2$ に取り直せば、ただの等比数列だった。

「原点をずらす」 — これが特性方程式の正体である。座標の原点を $2$ に移せば、世界は等比数列に見える。

ポイント

特性方程式 $α = 3 α - 4$ で $α = 2$ 。
$a_{n} - α$ が公比 $3$ の等比数列。

よくある間違い

特性方程式を $α = 3 α + 4$ と書いてしまう。符号はもとの漸化式のまま( $- 4$ )写す
$a_{n} - 2$ の初項を $a_{1} = 3$ としてしまう。等比になるのは $a_{n} - 2$ なので、初項は $3 - 2 = 1$
最後に $+ 2$ を戻し忘れて $a_{n} = 3^{n - 1}$ で終える。求めたのは $a_{n} - 2$ であって $a_{n}$ ではない