数学B / 漸化式と数学的帰納法

数学的帰納法(整除・3次)

★★★ 応用数学的帰納法整数

問題

すべての自然数 $n$ について、 $n^{3} + 5 n$ は $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。

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$n = k + 1$ の式と $n = k$ の式の『差』を計算してみると、連続する $2$ 整数の積が現れる。その積がもつ性質(偶奇)に気づけるか。

解答・解説

方針

(I) $n = 1$ で確認。(II) $n = k$ を仮定し、 $(k + 1)^{3} + 5 (k + 1)$ と $k^{3} + 5 k$ の差を計算する。差が $6$ の倍数なら、仮定と合わせて $n = k + 1$ も $6$ の倍数。差に現れる $k (k + 1)$ (連続 $2$ 整数の積)が偶数であることを使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての自然数 $n$ で $n^{3} + 5 n$ が $6$ の倍数」を帰納法で示す。

倍数の帰納法では、 $n = k + 1$ の式と $n = k$ の式の「差」を作るのが定石だ。

$(k + 1)^{3} + 5 (k + 1)$ から $k^{3} + 5 k$ を引くと、うまく整理できる形が出るはずだ。

その差が $6$ の倍数なら、仮定「 $k$ の式が $6$ の倍数」に足して、 $k + 1$ の式も $6$ の倍数になる。

定理整除の帰納法。

n = k + 1

と

n = k

の差が

6

の倍数であることを示す

(I) $n = 1$ のとき。 $1^{3} + 5 \cdot 1 = 6$ で、 $6$ の倍数。成り立つ。

(II) $n = k$ を仮定する。 $k^{3} + 5 k$ が $6$ の倍数とする。 $n = k + 1$ との差を計算する。

${(k + 1)^{3} + 5 (k + 1)} - (k^{3} + 5 k)$

$(k + 1)^{3} = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1$ なので

$= 3 k^{2} + 3 k + 1 + 5 = 3 k^{2} + 3 k + 6 = 3 k (k + 1) + 6$

この差が $6$ の倍数であることを示す。 $k (k + 1)$ は連続 $2$ 整数の積なので必ず偶数( $= 2 l$ とおける)。よって $3 k (k + 1) = 6 l$ は $6$ の倍数。 $+ 6$ も $6$ の倍数。したがって差は $6$ の倍数。

結論。 $n = k$ の $k^{3} + 5 k$ ( $6$ の倍数)に、 $6$ の倍数の差を足したものが $(k + 1)^{3} + 5 (k + 1)$ 。 $6$ の倍数 + $6$ の倍数 = $6$ の倍数なので、 $n = k + 1$ でも $6$ の倍数。

(I)(II) より、すべての自然数 $n$ で $n^{3} + 5 n$ は $6$ の倍数。

まとめ:整除の帰納法は「隣どうしの差が $6$ の倍数」を示すと速い。差 $3 k (k + 1) + 6$ に現れる $k (k + 1)$ が連続 $2$ 整数で偶数だから、 $3 \times (偶数) = 6$ の倍数、という論法がカギだ。

発展 — 一歩先へ。 なぜ係数が $5$ だとうまくいくのか。 $n^{3} + c n$ が「すべての $n$ で $6$ の倍数」になる $c$ を調べてみる。

$n^{3} + c n = (n^{3} - n) + (c + 1) n$ と分ける。 $n^{3} - n = n (n - 1) (n + 1)$ は連続 $3$ 整数の積で、いつでも $6$ の倍数だ。だから残る $(c + 1) n$ が全ての $n$ で $6$ の倍数であればよい。

$n = 1$ を考えると $c + 1$ が $6$ の倍数、すなわち $c \equiv 5 (mod 6)$ が条件になる。 $c = 5, 11, 17, \dots$ が該当する。 $c = 2$ だと $(c + 1) n = 3 n$ で $3$ の倍数どまり( $n = 1$ で $3$ )。 $5$ という係数は、 $6$ の倍数を保つ特別な値だったわけだ。

答

n=1 で 6 の倍数、n=k を仮定して差 3k²+3k+6=3k(k+1)+6 が 6 の倍数と示す

別解

別解 — $6 = 2 \times 3$ に分けて別々に示す(得意な人向けの視点)。 $6$ の倍数であることは、「 $2$ の倍数」かつ「 $3$ の倍数」と言い換えられる( $2$ と $3$ は互いに素)。そこで偶数であることと $3$ の倍数であることを別々に確かめる。

まず偶数か。 $n^{3} + 5 n = n (n^{2} + 5)$ と因数分解する。 $n$ が偶数ならこの積は偶数。 $n$ が奇数なら $n^{2}$ も奇数で $n^{2} + 5$ が偶数だから、やはり積は偶数。どちらでも $2$ の倍数だ。

次に $3$ の倍数か。 $n$ を $3$ で割った余りで分ける。余りが $0$ なら $n^{3} + 5 n$ も $3$ の倍数。余りが $1$ なら $1^{3} + 5 \cdot 1 = 6$ で $3$ の倍数。余りが $2$ なら $2^{3} + 5 \cdot 2 = 18$ で $3$ の倍数。どの余りでも $3$ の倍数だ。

$2$ の倍数かつ $3$ の倍数だから $6$ の倍数。本解の帰納法と同じ結論に、 $6$ を素因数に割ってたどり着く。

ポイント

隣の差 $3 k (k + 1) + 6$ を計算。
$k (k + 1)$ は偶数 → $3 k (k + 1)$ は $6$ の倍数。

よくある間違い

$(k + 1)^{3}$ の展開 $k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1$ を誤り、差 $3 k (k + 1) + 6$ を出せない。
差 $3 k (k + 1)$ が $6$ の倍数である理由を「 $k (k + 1)$ が連続 $2$ 整数で偶数」と言えず、 $3$ の倍数どまりで済ませてしまう。
差が $6$ の倍数と示しただけで終え、仮定( $k$ の式が $6$ の倍数)に足して $k + 1$ でも成り立つ、という締めを書かない。