数学B / 漸化式と数学的帰納法

直線で分けられる領域の数(漸化式)

★★★★ 難関漸化式図形場合の数

問題

平面上に、どの $2$ 本も平行でなく、どの $3$ 本も $1$ 点で交わらない $n$ 本の直線がある。これらの直線によって平面が分けられる領域の個数 $a_{n}$ を求めよ。

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$n$ 本目の直線は、既存の $n - 1$ 本と何個の点で交わるか。その交点で $n$ 本目は何個の部分に分かれ、領域を何個増やすか。漸化式 $a_{n} = a_{n - 1} + n$ を立てる。

解答・解説

方針

$n$ 本目の直線を引くと、それは既存の $n - 1$ 本すべてと $1$ 点ずつ( $n - 1$ 個の点)で交わり、 $n$ 個の部分に分かれる。各部分が領域を $1$ つずつ増やすので、 $a_{n} = a_{n - 1} + n$ 。 $a_{1} = 2$ から解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 領域の数を直接数えるのは大変。そこで「直線を $1$ 本増やすと領域がいくつ増えるか」を漸化式にする。

$n$ 本目の直線を引くとき、既存の $n - 1$ 本と何回交わるかを考える。どの $2$ 本も平行でなく、 $3$ 本が $1$ 点に集まらないので、交点はちょうど $n - 1$ 個。

その $n - 1$ 個の交点で、 $n$ 本目自身は $n$ 個の部分(線分や半直線)に切り分けられる。

各部分は、通り抜ける領域を $2$ つに割る。つまり領域が $n$ 個増える、と見通せる。

重要

n

本目の直線は既存の

n - 1

本と

n - 1

点で交わり、

n

個の部分に分かれて領域を

n

個増やす:

a_{n} = a_{n - 1} + n

① 漸化式を立てる。 $n$ 本目の直線は、既存 $n - 1$ 本と $n - 1$ 個の交点をもち、それらで $n$ 個の線分・半直線の部分に分かれる。各部分が通る領域を $1$ つずつ $2$ 分割するので、領域は $n$ 個増える。よって

$a_{n} = a_{n - 1} + n (n \geq 2)$

初項は、直線 $1$ 本で平面が $2$ 分割されるから $a_{1} = 2$ 。

② 階差型として解く。 $n \geq 2$ で

$a_{n} = a_{1} + k = 2 \sum n k = 2 + (\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1) = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2}$

③ 確認。 $a_{1} = 1 + 1 = 2$ 、 $a_{2} = 1 + 3 = 4$ 、 $a_{3} = 1 + 6 = 7$ 。実際、 $2$ 本で $4$ 領域、 $3$ 本で $7$ 領域。一致する。

n本の直線で分かれる領域の数=1+n(n+1)/2(交点が1つ増えるごとに領域が1つ増える)。図は n=3 で 7 領域

まとめ:図形の領域数は「 $1$ 本増やすと領域がいくつ増えるか」を漸化式に。 $n$ 本目は $n - 1$ 交点で $n$ 部分に分かれ、領域が $n$ 個増える( $a_{n} = a_{n - 1} + n$ )。階差型を解いて $a_{n} = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。

発展 — 一歩先へ。 答え $1 + \frac{n ( n + 1 )}{2}$ は、じつは $(0 n) + (1 n) + (2 n)$ に等しい( $1 + n + (2 n)$ と展開すると分かる)。

この $1, n, (2 n)$ は、それぞれ「平面全体」「直線が単独で作る境界」「 $2$ 直線の交点」の寄与。 $2$ 直線から交点が $1$ つ決まるので、交点数が $(2 n)$ になる。

平面を空間( $3$ 次元)に上げ、 $n$ 枚の平面で分けるときは $(0 n) + (1 n) + (2 n) + (3 n)$ 。次元を上げるほど二項係数の和が伸びる、美しい規則だ。

答

$a_{n} = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2}$

別解

別解 — 交点の個数から直接数える(得意な人向けの視点)。 漸化式を経由せず、「領域数 $= 1 +$ (直線の本数) $+$ (交点の個数)」という公式で一気に出せる。

まず平面全体で領域は $1$ 個。直線を $1$ 本ずつ足すと、新たな交点ができるたびに領域が余分に $1$ つ増える。整理すると、最終的な領域数は

$a_{n} = 1 + n + (交点の個数) .$

交点は「どの $2$ 本を選ぶか」で $1$ つ決まるから、 $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 個。よって

$a_{n} = 1 + n + \frac{n ( n - 1 )}{2} = 1 + \frac{2 n + n ( n - 1 )}{2} = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2} .$

漸化式を解く本解と同じ結果。 $n = 3$ なら $1 + 3 + 3 = 7$ 領域で一致する。「直線の寄与 $n$ 」と「交点の寄与 $(2 n)$ 」を分けて数えるのがこの見方のコツ。

ポイント

$n$ 本目は $n - 1$ 交点で $n$ 部分 → 領域 $n$ 個増、 $a_{n} = a_{n - 1} + n$ 。
$a_{1} = 2$ 、階差型を解いて $a_{n} = 1 + \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。

よくある間違い

$n$ 本目が増やす領域を $n - 1$ や $n + 1$ と数え、 $a_{n} = a_{n - 1} + n$ を崩す。
初項を $a_{1} = 1$ とし、直線 $1$ 本で平面が $2$ 分割される( $a_{1} = 2$ )ことを見落とす。
和 $k = 2 \sum n k$ の下端を $1$ と取り違え、 $- 1$ の補正を落とす。