数学B / 漸化式と数学的帰納法

指数型(pₐₙ + qⁿ)

★★ 標準漸化式指数型

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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右辺に $3^{n}$ が混ざる型。一般項を『 $2$ の累乗の項と $3$ の累乗の項の組み合わせ』と予想して、漸化式に代入して係数を決める方法が見通しよい。

解答・解説

方針

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ の解は $a_{n} = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$ の形。 $B \cdot 3^{n}$ の部分(特殊解)を先に決め、残りの $A \cdot 2^{n}$ を初項条件で決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ — 邪魔者が定数でなく $3^{n}$ と、 $n$ とともに育つ型だ。定数の特性方程式はそのままでは使えない。

こういうときは、解の形を先読みする。 $2$ 倍する部分からは $2^{n}$ の系統、 $3^{n}$ を足す部分からは $3^{n}$ の系統が育つはず。そこで

$a_{n} = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$

の形を予想し、 $B$ (特殊解の係数)を漸化式に合うように、 $A$ を初項に合うように決める。「型を予想して係数を決める」二段構えである。

重要

a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}

(

p \neq = q

)の一般項は

a_{n} = A \cdot p^{n} + B \cdot q^{n}

の形

① 解の形を予想して代入する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$ とおき、漸化式 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ に入れる。

$A \cdot 2^{n + 1} + B \cdot 3^{n + 1} = 2 (A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}) + 3^{n}$

② $3^{n}$ の係数を比べる。 $2^{n}$ の項は両辺で自動的に一致するので、 $3^{n}$ の項だけ見る。左辺 $3 B \cdot 3^{n}$ 、右辺 $(2 B + 1) 3^{n}$ 。

$3 B = 2 B + 1 \Rightarrow B = 1$

③ 初項で $A$ を決める。 $a_{1} = 1$ 。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + 3^{n}$ に $n = 1$ を入れる。

$2 A + 3 = 1 \Rightarrow A = - 1$

④ 一般項を書く。

$a_{n} = - 2^{n} + 3^{n} = 3^{n} - 2^{n}$

まとめ: $p a_{n} + q^{n}$ 型は「 $a_{n} = A p^{n} + B q^{n}$ とおいて係数決定」が速い。 $q^{n}$ の項から $B$ が、初項から $A$ が決まる。( $3^{n + 1}$ で割って階差型にする別解もある。)

発展 — 一歩先へ。 答え $3^{n} - 2^{n}$ の中で、 $n$ が大きくなると勝つのは $3^{n}$ 。「足される $3^{n}$ 」が「 $2$ 倍の成長」を追い越す — 漸化式の $2$ つの成長エンジンの競争が、答えの $2$ 項にそのまま刻まれている。

もし係数と底が同じ( $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n}$ )だったら、予想 $B \cdot 3^{n}$ は左右で打ち消されて決められない。そのときは $B n \cdot 3^{n}$ と $n$ を掛けた形に格上げする(共鳴と呼ばれる現象)。「予想が失敗したら $n$ 倍して再挑戦」— 型の予想ルートの、もう一歩先の作法だ。

答

$a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$

別解

邪魔者 $3^{n}$ を「割り算」で退治する道もある。

両辺を $3^{n + 1}$ で割る。

$\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a _{n}}{3 ^{n}} + \frac{1}{3}$

$b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ とおくと $b_{n + 1} = \frac{2}{3} b_{n} + \frac{1}{3}$ — 見慣れた「定数を足す型」に化けた。

特性方程式 $β = \frac{2}{3} β + \frac{1}{3}$ から $β = 1$ 。 $b_{1} = \frac{1}{3}$ だから

$b_{n} - 1 = (\frac{2}{3})^{n - 1} (b_{1} - 1) = - (\frac{2}{3})^{n} つまり b_{n} = 1 - (\frac{2}{3})^{n}$

$a_{n} = 3^{n} b_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。予想ルートと同じ答えだ。

「育つ邪魔者は、その勢い( $3^{n}$ )で全体を割って背丈をそろえる」— 指数型の漸化式に広く効く正規化の発想である。

ポイント

$a_{n} = A \cdot p^{n} + B \cdot q^{n}$ とおく。
$q^{n}$ の係数比較で $B$ 、初項で $A$ 。

よくある間違い

定数型と同じ特性方程式 $α = 2 α + 3^{n}$ を立てようとして詰まる( $3^{n}$ は定数でない)
特殊解 $B \cdot 3^{n}$ の $B$ を決める式で $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$ の関係を使い損ねる
$A$ を決めるとき初項条件 $a_{1} = 1$ でなく $a_{0}$ を使ってずれる