1次式型(pₐₙ + n)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=2a_n+n$ — 足される邪魔者が $n$($1$ 次式)の型だ。

定数なら「定数の不動点」を引けばよかった。$1$ 次式なら、引くべきものも $1$ 次式。特殊解 $pn+q$ を探す。$a_n=pn+q$ が漸化式をずっと満たすように $p,q$ を決めると、そこからのずれが純粋な等比数列になる。

$p(n+1)+q=2(pn+q)+n$ を $n$ について整理し、係数比較で $p,q$ を決める — 「邪魔者と同じ形の解を仕込む」のがこの型の核心だ。

① 1次式の特殊解を求める。 $a_n=pn+q$ が漸化式を満たすとして代入。

$$p(n+1)+q=2(pn+q)+n$$

左辺 $pn+p+q$、右辺 $(2p+1)n+2q$。係数を比べる。

$$p=2p+1\Rightarrow p=-1,p+q=2q\Rightarrow q=p=-1$$

特殊解は $-n-1$。

② 残りを等比数列にする。 $a_n=A\cdot 2^n+(-n-1)$ とおく(等比部分 + 特殊解)。$a_1=1$ を代入。

$$2A-1-1=1\Rightarrow 2A=3\Rightarrow A=\frac{3}{2}$$

③ 一般項を書く。 $\frac{3}{2}\cdot 2^n=3\cdot 2^{n-1}$。

$$a_n=3\cdot 2^{n-1}-n-1$$

まとめ:右辺に $n$ の1次式があるときは、「答えにも1次式が混じる」と読んで特殊解 $pn+q$ を先に決める。残りは等比数列。指数型($q^n$)のときと同じ「特殊解 + 等比」の発想だ。

発展 — 一歩先へ。 特殊解ルート(本解)と階差ルート(別解)は、実は同じ山の別ルートだ。特殊解 $-n-1$ を先に見抜けるなら最短、思いつかなければ差をとって機械的に次数を下げる — 試験では「予想できたら特殊解、できなければ階差」と使い分ければよい。

この構造(一般解 $=$ 等比の部分 $+$ 邪魔者と同型の特殊解)は、大学で学ぶ微分方程式とまったく同じ設計になっている。漸化式は微分方程式の離散版 — 数Bのこの単元は、その入り口でもある。

別解

邪魔者の $n$ を、差をとって消す方法もある。

となり合う $2$ つの漸化式を並べて引く。

$$a_{n+2}=2a_{n+1}+(n+1),a_{n+1}=2a_n+n$$

差 $c_n=a_{n+1}-a_n$ をとると、$n$ と $n+1$ の差は $1$ だから

$$c_{n+1}=2c_n+1$$

$1$ 次式の邪魔者が、ただの定数 $1$ に格下げされた。あとは基本の特性方程式型だ。$c_1=a_2-a_1=3-1=2$ で、$c_n+1$ が公比 $2$ の等比になるから $c_n=3\cdot 2^{n-1}-1$。

最後に差を積み上げて復元する。

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{c}_k=1+3(2^{n-1}-1)-(n-1)=3\cdot 2^{n-1}-n-1$$

「差をとるたびに邪魔者の次数が $1$ 下がる」— $n^2$ が足される型なら $2$ 回差をとればよい。特殊解の形を予想しにくいときの、確実な迂回路である。