数学B / 漸化式と数学的帰納法

漸化式で定めた数列の和

★★★ 応用漸化式和

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ で定まる数列 ${a_{n}}$ について、初項から第 $n$ 項までの和 $T_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ を求めよ。

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まず漸化式を解いて一般項を出す(見たことのある型のはず)。和は、指数の項と定数の項に分けてそれぞれ計算する。

解答・解説

方針

まず漸化式を解いて一般項 $a_{n}$ を求める(特性方程式型)。次に $Σ$ をとる。 $a_{n}$ は「等比 + 定数」の形なので、等比数列の和と定数の和に分けて計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和 $T_{n}$ をいきなり求めようとしても、 $a_{n}$ の形がわからないと手が出ない。

だからまず漸化式を解いて一般項 $a_{n}$ を出す。これは定数を足して等比にする、見慣れた型だ。

出てくる $a_{n}$ は「等比 + 定数」の形。和もその形に沿って、等比の和と定数の和に分けて計算できる。

「漸化式を解く、それから $Σ$ をとる」の $2$ 段階で進める。

重要まず漸化式で一般項を出し、それから

Σ

をとる

① 一般項を求める。 特性方程式 $α = 2 α + 1$ より $α = - 1$ 。 $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ 、初項 $a_{1} + 1 = 2$ 。

$a_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} \Rightarrow a_{n} = 2^{n} - 1$

② 和をとる。 $a_{n} = 2^{n} - 1$ を「等比 $2^{n}$ 」と「定数 $- 1$ 」に分ける。

$T_{n} = k = 1 \sum n (2^{k} - 1) = k = 1 \sum n 2^{k} - k = 1 \sum n 1$

③ 各和を計算する。 $k = 1 \sum n 2^{k} = 2^{n + 1} - 2$ (初項 $2$ 、公比 $2$ の和)、 $k = 1 \sum n 1 = n$ 。

$T_{n} = (2^{n + 1} - 2) - n = 2^{n + 1} - n - 2$

まとめ:漸化式で定めた数列の和は「一般項を出してから $Σ$ 」の $2$ 段階。一般項が「等比 + 定数」なら、和も等比の和と定数の和に分けて計算する。 $\sum 2^{k} = 2^{n + 1} - 2$ を正確に。

発展 — 一歩先へ。 一般項では $a_{n} + 1 = 2^{n}$ と、 $1$ を足すだけで純粋な $2$ の累乗が顔を出した。じつは和でも似たことが起きている。

答え $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ を移項すると $T_{n} + (n + 2) = 2^{n + 1}$ 。今度は $1$ 次式 $n + 2$ を足すと、純粋な $2$ の累乗になる。

一般に、漸化式を $Σ$ でならしても「等比 + 多項式」の世界から出ない。ただし多項式の次数は $1$ つ上がる。一般項では定数の補正、和では $1$ 次式の補正で $2$ の累乗が現れるのは、その次数上がりの現れだ。

答

$T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

別解

別解 — 漸化式そのものを足し上げる(得意な人向けの視点)。 一般項を等比と定数に分けて足すかわりに、漸化式を $n$ 個ぶん足してしまう。

$a_{k + 1} = 2 a_{k} + 1$ を $k = 1$ から $n$ まで加える。左辺は $k = 1 \sum n a_{k + 1} = a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n + 1} = (T_{n} - a_{1}) + a_{n + 1}$ 。右辺は $2 T_{n} + n$ 。等しいとおくと

$(T_{n} - a_{1}) + a_{n + 1} = 2 T_{n} + n .$

$a_{1} = 1$ を入れて整理すると

$T_{n} = a_{n + 1} - n - 1.$

和が「次の項 $a_{n + 1}$ から $1$ 次式を引いたもの」で表せた。あとは $a_{n + 1} = 2^{n + 1} - 1$ を入れて $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ 。

本解と同じ答え。一般項を足すのでなく、漸化式を足して和と次の項を結びつけたのがこのルートだ。

ポイント

先に一般項 $a_{n} = 2^{n} - 1$ を求める。
「等比 + 定数」に分けて $Σ$ 。

よくある間違い

一般項 $a_{n}$ を求めずに和へ飛びつき、 $\sum a_{k}$ の計算方針が立たない。
$k = 1 \sum n 2^{k}$ を $2^{n} - 1$ と取り違え、初項が $2$ で和が $2^{n + 1} - 2$ になることを見落とす。
$a_{n} = 2^{n} - 1$ の定数部分の和 $\sum_{k = 1}^{n} (- 1) = - n$ を落とし、 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ で止めてしまう。