数学B / 漸化式と数学的帰納法

不動点が2つある分数型漸化式

最難関編分数型漸化式不動点

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 3$ 、 $a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} - 2}{a _{n} + 1}$ で定める。

(1) $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ とおくとき、 ${b_{n}}$ が等比数列であることを示せ。

(2) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。また、 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

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まず $x = \frac{4 x - 2}{x + 1}$ を解いて「動かない値」を求めてみる — 2つ出てくるはず。1つなら逆数の置き換えだったが、2つのときは何をとると等比になるか。誘導の $b_{n}$ の形が答えを言っている。

解答・解説

方針

分数型漸化式の不動点(x=(4x−2)/(x+1) の解)は x=1, 2 の2つ。不動点が2つのときは「両方からのずれの比」b_n=(a_n−1)/(a_n−2) をとると等比になる、が定石。分子・分母それぞれを漸化式で計算すると公比 3/2 が現れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数型漸化式の急所は不動点(その値から動かない $x$ )だ。 $x = \frac{4 x - 2}{x + 1}$ を解くと $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 、つまり $x = 1, 2$ の2つ。

不動点が1つなら「ずれの逆数」で等差化する。2つあるときは「2つの不動点からのずれの比」 $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ をとると等比数列になる。これがこの型の定石だ。

分子 $a_{n + 1} - 1$ と分母 $a_{n + 1} - 2$ を別々に漸化式で計算すれば、共通の分母 $a_{n} + 1$ が約分されて公比が浮かび上がる。

重要分数型漸化式は不動点で分類: 不動点2つ(

α, β

)なら

b_{n} = \frac{a _{n} - α}{a _{n} - β}

が等比、1つ(重解)なら

\frac{1}{a _{n} - α}

が等差

① 分子と分母を計算する((1))。

$a_{n + 1} - 1 = \frac{4 a _{n} - 2 - ( a _{n} + 1 )}{a _{n} + 1} = \frac{3 ( a _{n} - 1 )}{a _{n} + 1}, a_{n + 1} - 2 = \frac{4 a _{n} - 2 - 2 ( a _{n} + 1 )}{a _{n} + 1} = \frac{2 ( a _{n} - 2 )}{a _{n} + 1}$

辺々割ると( $a_{n} \neq = 2$ は $b_{n} \neq = 0$ から帰納的に保たれる)

$b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} - 1}{a _{n + 1} - 2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2} = \frac{3}{2} b_{n}$

よって ${b_{n}}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列。

② 一般項((2)前半)。 $b_{1} = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2$ だから $b_{n} = 2 (\frac{3}{2})^{n - 1}$ 。 $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ を $a_{n}$ について解くと $a_{n} = \frac{2 b _{n} - 1}{b _{n} - 1}$ 。分子分母に $2^{n - 1}$ を掛けて整理すれば

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 ^{n - 1} / 2 ^{n - 1} - 1}{2 \cdot 3 ^{n - 1} / 2 ^{n - 1} - 1} = \frac{4 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}{2 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}$

③ 極限((2)後半)。 分子分母を $3^{n - 1}$ で割ると

$a_{n} = \frac{4 - ( \frac{2}{3} ) ^{n - 1}}{2 - ( \frac{2}{3} ) ^{n - 1}} ⟶ \frac{4}{2} = 2$

数列は不動点のうち $2$ に吸い込まれていく( $b_{n} \to \infty$ が $a_{n} \to 2$ に対応)。

まとめ: 「不動点を先に求めて型を判定する」— 2つなら比 $\frac{a _{n} - α}{a _{n} - β}$ 、1つなら逆数。極限が不動点の一方に落ちることまで含めて、分数型漸化式の全体像が1問に収まっている。

発展 — 一歩先へ。 公比 $\frac{3}{2}$ は偶然ではない。一般に $a_{n + 1} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n} + s}$ の不動点が $α, β$ のとき、 $b_{n} = \frac{a _{n} - α}{a _{n} - β}$ の公比は $\frac{p - r α}{p - r β}$ になる(本問は $\frac{4 - 1}{4 - 2} = \frac{3}{2}$ )。しかも極限は、公比の絶対値が1より大きければ $β$ 側、小さければ $α$ 側の不動点に落ちる。不動点と公比だけで、数列の運命が読み切れる。

答

(1) $b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n}$ (公比 $\frac{3}{2}$ ) (2) $a_{n} = \frac{4 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}{2 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}$ 、極限は $2$

別解

分子と分母を別々の数列にする(線形化の種明かし)。 $a_{n} = \frac{p _{n}}{q _{n}}$ と分数のまま持ち、分子・分母を別々に更新してみる。

$a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} - 2}{a _{n} + 1} = \frac{4 p _{n} - 2 q _{n}}{p _{n} + q _{n}}$

だから $p_{n + 1} = 4 p_{n} - 2 q_{n}, q_{n + 1} = p_{n} + q_{n}$ ( $p_{1} = 3, q_{1} = 1$ )という連立の線形漸化式が取り出せる。和と差の要領でうまい組合せを探すと

$p_{n + 1} - q_{n + 1} = 3 (p_{n} - q_{n}), p_{n + 1} - 2 q_{n + 1} = 2 (p_{n} - 2 q_{n})$

つまり $p_{n} - q_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ 、 $p_{n} - 2 q_{n} = 2^{n - 1}$ (初期値 $2, 1$ の等比)。この2本から $p_{n}, q_{n}$ を復元すれば、本解と同じ一般項に着く。

種明かしはここからだ。本解の $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2} = \frac{p _{n} - q _{n}}{p _{n} - 2 q _{n}}$ は、2つの等比数列の比にほかならない。だから公比は $\frac{3}{2}$ 。分数型漸化式の裏では、いつも連立線形漸化式が回っている。

ポイント

不動点 $x = 1, 2$ → $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ が等比(公比 $\frac{3}{2}$ )。
$a_{n} = \frac{4 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}{2 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}$ 。
極限は不動点の一方 $2$ 。

よくある間違い

不動点を求めずに誘導の $b_{n}$ を天下りに使い、「なぜこの形か」を説明できない。
$b_{n}$ から $a_{n}$ へ戻す変形( $b (a - 2) = a - 1$ を $a$ について解く)で符号を誤る。
極限で $b_{n} \to \infty$ を $a_{n} \to 1$ に対応させてしまう。 $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ が発散するのは分母 $a_{n} - 2 \to 0$ 、つまり $a_{n} \to 2$ のとき。