階差型の漸化式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=a_n+2n$ — 足しているが、足す量が毎回変わる。

$$a_{n+1}-a_n=2n$$

$n=1$ なら $2$、$n=2$ なら $4$、$n=3$ なら $6$ を足す。足す量そのものが数列になっている。

これを階差型という。

$$1\stackrel{+2}{\to }3\stackrel{+4}{\to }7\stackrel{+6}{\to }13\stackrel{+8}{\to }21$$

差が分かっているなら、初項から順に足し上げれば一般項に戻せる。

$$a_n=a_1+(\text{1 回目の差})+(\text{2 回目の差})+\cdots$$

注意すべきは「何回足すか」だ。 $a_1$ から $a_n$ までは、矢印が $n-1$ 本。だから足す差も $n-1$ 個で、和の上端は $n-1$ になる。

「差が分かれば、和で戻す。ただし上端は $n-1$。」 これが階差型の核心である。

① 階差を確かめる。 $a_{n+1}-a_n=2n$ なので階差は $f(n)=2n$。

② 和で一般項を出す($n\geqq 2$)。 上端は $n-1$。

$$a_n=1+\sum _{k=1}^{n-1}2k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$$

③ $n=1$ を確認する。 $a_1=1^2-1+1=1$ で一致。すべての $n$ で成り立つ。

$$a_n=n^2-n+1$$

まとめ:$a_{n+1}=a_n+(n\text{ の式})$ は階差型。「初項 + 階差の和」で一般項が出る。和の上端が $n-1$ なのと、$n=1$ の確認を忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 出てきた一般項 $a_n=n^2-n+1$ には、驚くべき親戚がいる。

定数を $1$ から $41$ に変えてみる。

$$f(n)=n^2-n+41$$

$n$ に $1$ から順に入れてみよう。

$$f(1)=41,f(2)=43,f(3)=47,f(4)=53,f(5)=61$$

$41,43,47,53,61$ — すべて素数だ。

偶然だろうか。続けてみる。

$$71,83,97,113,131,151,173,197,223,\dots$$

これも全部、素数。

実は、$n=1$ から $n=40$ まで、$40$ 個すべてが素数になる。 オイラーが $1772$ 年に見つけた、有名な素数生成多項式である。

では、$n=41$ は?

$$f(41)=41^2-41+41=41^2=1681$$

$41\times 41$ — 素数ではない。

あっけない終わり方だ。 だが、この失敗こそが教訓になる。

$40$ 回連続で成り立っても、それは証明ではない。

「$n=1$ から $n=40$ まで確かめたから、すべての $n$ で正しい」— この推論は誤りである。

では、どうすればすべての $n$ で言えるのか。 そのための道具が、この単元の後半で学ぶ数学的帰納法だ。

「$1$ 個目が正しい」+「$k$ 個目が正しければ $k+1$ 個目も正しい」— この $2$ 段があって初めて、無限個を保証できる。

実験は予想を生む。証明が予想を確定する。 オイラーの $41$ は、その境目を教えてくれる。

ちなみに、すべての $n$ で素数になる多項式は存在しない(定数を除く)。これは証明されている。素数は、そんなに簡単な式では捕まらない。

別解

「答えの形」を先に予想して、係数だけ決める。

まず、次数を見積もる。

階差(足す量)は $2n$ — $1$ 次式だ。

和をとると、次数は $1$ 上がる。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}(1\text{ 次の和}\to 2\text{ 次})$$

だから一般項は $2$ 次式のはずである。

そこで、こう置く。

$$a_n=A{n}^2+Bn+C$$

$A$、$B$、$C$ を、条件から決める。

① 漸化式に代入する。 $a_{n+1}-a_n=2n$ に入れる。

$$a_{n+1}=A(n+1{)}^2+B(n+1)+C$$

$$a_{n+1}-a_n=A\{(n+1{)}^2-n^2\}+B\{(n+1)-n\}=A(2n+1)+B$$

これが $2n$ に等しい。

$$2An+(A+B)=2n+0$$

② 係数を比べる。 すべての $n$ で成り立つのだから、$n$ の係数どうし、定数どうしが等しい。

$$2A=2⟹A=1$$ $$A+B=0⟹B=-1$$

③ 初項で $C$ を決める。 $a_1=1$ より

$$A+B+C=1⟹1-1+C=1⟹C=1$$

$$a_n=n^2-n+1$$

本解と同じ答え。

確かめる。 $n=1,2,3,4$ で $1,3,7,13$ ✓

この方法の強み。 $\Sigma$ の計算をまったくしていない。形を仮定して、係数を合わせるだけで済んでいる。

未定係数法と呼ばれるこの手は、階差が多項式のときにいつでも使える。

• 階差が $1$ 次式 → 一般項は $2$ 次式
• 階差が $2$ 次式 → 一般項は $3$ 次式

$\Sigma$ の公式を思い出せなくても、連立方程式さえ解ければ答えにたどり着く。

ただし、階差が $2^n$ のような指数のときは使えない。 そのときは素直に $\Sigma$ で足し上げる。道具は使い分けるものだ。