数学的帰納法(等式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての自然数 $n$ で成り立つ」— 無限個の主張を、有限の手続きで証明したい。それが数学的帰納法の出番だ。

部品は $2$ つ。(I) 最初の $1$ 枚($n=1$)が成り立つこと。(II) $n=k$ で成り立つと仮定すれば $n=k+1$ でも成り立つこと。

この $2$ つが揃うと、$1\to 2\to 3\to \cdots$ とドミノ式にすべての $n$ へ伝わる。等式の帰納法では、(II)は「仮定の式の両辺に次の項 $(k+1{)}^2$ を足して、$k+1$ 版の右辺になるか」を確かめる計算になる。

(I) $n=1$ のとき。 左辺 $=1$、右辺 $=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$。成り立つ。

(II) $n=k$ を仮定する。 $1^2+\cdots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ とする。両辺に次の項 $(k+1{)}^2$ を足す。

$$1^2+\cdots +k^2+(k+1{)}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$$

右辺を $(k+1)$ でくくる。

$$=(k+1)\{\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)\}=(k+1)\cdot \frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}$$

中カッコの分子を整理する。$k(2k+1)+6(k+1)=2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$。

$$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$

これは $n=k+1$ の右辺 $\frac{(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}}{6}$ に一致。

結論。 (I)(II) より、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

まとめ:等式の帰納法は「仮定の右辺 + 次の項」を計算し、$k+1$ の右辺に一致させるのがヤマ。$(k+1)$ でくくり、残りの分子を因数分解 $(k+2)(2k+3)$ できるかがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 (II)の計算の芯は $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$ で $(k+1)$ をくくること。展開してから因数分解し直すのではなく、共通因数を先にくくると計算量が数分の一になる。ゴールの式 $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ を横に書いておき、そこへ向けて整形する意識が効く。

帰納法が証明するのは等式だけではない。不等式・倍数性・図形の性質 — 「$n$ で成り立てば $n+1$ でも」の橋さえ架かれば何でも運べる。この単元の後半で、その橋の架け方のバリエーションを学ぶ。

別解

帰納法は「与えられた式が正しいことの確認」だが、そもそもこの公式を自力で作り出す方法も知っておく価値がある。

$3$ 乗の差を並べて足す。恒等式 $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$ を $k=1$ から $n$ まで足すと、左辺は途中が打ち消し合って

$$(n+1{)}^3-1=3\sum _{k=1}^n{k}^2+3\sum _{k=1}^{n}k+n$$

$\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ は既知だから、$\sum k^2$ について解けば

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{3}\left\{(n+1{)}^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n\right\}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

公式そのものが導出できた。

帰納法は「答えを知ってから確かめる」道具、望遠鏡和は「答えを知らずに作る」道具。$2$ つセットで持つと、$\sum k^3$ でも($4$ 乗の差から)同じように公式を自作できる。