数学B / 漸化式と数学的帰納法

連立漸化式

★★ 標準漸化式連立

問題

$a_{1} = 1$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ で定まる数列の一般項 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ を求めよ。

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$2$ つの漸化式を、足す・引くしてみよう。それぞれが $1$ 本の見慣れた漸化式に化ける。和と差が分かれば、もとの $2$ つは連立で復元できる。

解答・解説

方針

$2$ つの式の「和」 $a_{n} + b_{n}$ と「差」 $a_{n} - b_{n}$ を作ると、それぞれが単独の漸化式(等比・等差)になる。和と差を求めてから、 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ を復元する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a$ と $b$ が互いを参照し合っていて、単独では解けない。ならば、組み合わせて $1$ 本の数列を作る。

$2$ つの式をよく見ると、係数が対称( $a$ の式は $2, 1$ 、 $b$ の式は $1, 2$ )だ。こういうときは和と差が効く。

$2$ 式を足すと $a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n})$ — 和は公比 $3$ の等比。引くと $a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ — 差はずっと一定。和と差が分かれば、 $a_{n} = \frac{和 + 差}{2}$ で復元できる。

重要連立漸化式は、和

a_{n} + b_{n}

と差

a_{n} - b_{n}

を作ると単独の漸化式に分かれる

① 和の漸化式を作る。 $2$ 式を足す。

$a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 a_{n} + 3 b_{n} = 3 (a_{n} + b_{n})$

公比 $3$ の等比数列。初項 $a_{1} + b_{1} = 1$ 。よって $a_{n} + b_{n} = 3^{n - 1}$ 。

② 差の漸化式を作る。 $2$ 式を引く。

$a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$

一定(公比 $1$ )。初項 $a_{1} - b_{1} = 1$ 。よって $a_{n} - b_{n} = 1$ 。

③ $a_{n}$ 、 $b_{n}$ を復元する。 和と差から

$a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$

まとめ:連立漸化式は「和と差で分解」が王道(係数が対称なとき特に有効)。和・差それぞれが等比や等差になり、単独で解ける。最後に和と差から $a_{n} = \frac{和 + 差}{2}$ で復元する。

発展 — 一歩先へ。 和と差がうまくいったのは係数が対称だったから。対称でない連立漸化式では、 $a_{n} + α b_{n}$ が等比になるような $α$ を探す(今回の和と差は $α = 1, - 1$ の場合にあたる)。この $α$ 探しを機械化したものが、大学で学ぶ行列の固有値・固有ベクトルだ。

「 $2$ 本の絡んだ数列を、独立に育つ $2$ 方向(今回は和と差)に組み替える」— 座標軸を取り替えて問題を単純化する、線形代数の中心思想の最初の体験がこの問題である。

答

$a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}$ 、 $b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$

別解

「和と差を作る」と言われても唐突に感じるなら、先に数列を書き出してみるとよい。

$a : 1, 2, 5, 14, \dots b : 0, 1, 4, 13, \dots$

$2$ つの列を眺めると、気づくことが $2$ つある。

和 $a_{n} + b_{n}$ : $1, 3, 9, 27$ — $3$ のべきだ
差 $a_{n} - b_{n}$ : $1, 1, 1, 1$ — ずっと $1$ のまま

つまり $a_{n} + b_{n} = 3^{n - 1}$ 、 $a_{n} - b_{n} = 1$ 。この $2$ 本を連立して

$a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$

実験が先、証明が後 — 見つけた法則は、和の漸化式( $3$ 倍)と差の漸化式(不変)を作れば正当化できる。「 $2$ 本の数列を見たら、まず和と差を計算してみる」を実験の習慣にしておくと、この型は怖くない。

ポイント

和 $a_{n} + b_{n}$ と差 $a_{n} - b_{n}$ を作る。
それぞれ単独の漸化式 → 復元。

よくある間違い

和の等比の初項を $a_{1} + b_{1} = 1$ でなく $3$ から始めて指数がずれる
復元の $2$ で割る操作を忘れ、 $a_{n} = 3^{n - 1} + 1$ と答える
差が一定( $= 1$ )なのを見落とし、差にも特性方程式を持ち出して混乱する