漸化式と数学的帰納法の解説

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月2日

漸化式は、「前の項から次の項を作る規則」から一般項を求める単元で、数学的帰納法は「すべての自然数で成り立つ」ことを証明する方法です。漸化式は型が多く見えますが、どの型も「等差数列か等比数列に変形する」という1つの考え方で解けます。この記事では、型ごとの変形と、変形を思いつくための目印、帰納法の答案の書き方を説明します。

すべての型は「等差か等比に直す」

等差型 $a_{n + 1} = a_{n} + d$ と等比型 $a_{n + 1} = r a_{n}$ は、そのまま一般項が書けます。階差型 $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$ は、 $f (n)$ が階差数列なので、数列の単元の階差の公式で解けます。等差型、等比型、階差型の3問が、すべての出発点です。

特性方程式型 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ は、 $α = p α + q$ を解いて $α$ を求め、 $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ と変形すると、 $a_{n} - α$ が公比 $p$ の等比数列になります。「なぜ $α$ を引くと等比になるのか」は、元の式から $α = p α + q$ を引き算してみればわかります。特性方程式型(基本)と引き算で、この引き算を自分でやってから、標準の標準へ進んでください。

発展形の目印

指数型 $a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ は、両辺を $q^{n + 1}$ で割ると、 $\frac{a _{n}}{q ^{n}}$ についての特性方程式型になります(標準の指数型)。 $p = q$ のときは割ったあとが等差型になります(応用の共鳴)。「 $q^{n}$ が見えたら $q^{n + 1}$ で割る」が目印です。

1次式型 $a_{n + 1} = p a_{n} + n$ は、 $a_{n}$ を「 $n$ の1次式 + 等比数列」と予想して、 $a_{n + 1} - (α (n + 1) + β) = p (a_{n} - (α n + β))$ となる $α$ 、 $β$ を決めます(標準の1次式型)。または、階差をとって $n$ を消す方法もあります。

分数型 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{p a _{n} + q}$ は、逆数をとると $\frac{1}{a _{n}}$ について特性方程式型か等差型になります(標準の分数型の漸化式(逆数変換)、応用の等差数列に帰着)。分子に定数があるときは、特性方程式の解 $α$ を使って $\frac{1}{a _{n} - α}$ の漸化式を作ります。

3項間 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ は、特性方程式 $x^{2} = p x + q$ の2解 $α$ 、 $β$ で、 $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ と $α$ 、 $β$ を入れ替えた式の2本を作り、引き算します(応用の3項間漸化式)。重解のときは1本しか作れないので、両辺を $α^{n + 2}$ で割って等差型にします(応用の重解)。

連立漸化式は、2つの式を足したり引いたりして、和と差の等比数列を作ります(標準の連立漸化式)。

型を見分けられないとき

型が見えないときは、最初の数項を計算して一般項を予想し、帰納法で証明する、という方法があります。また、両辺の対数をとる(積の形の漸化式)、両辺を $n!$ や $n (n + 1)$ で割る(係数に $n$ が入る漸化式)といった変形で、既知の型に落ちることもあります。「何で割れば(何を引けば)等差か等比になるか」を探す、という姿勢が、すべての型に共通しています。

数学的帰納法は答案の型で覚える

「すべての自然数 $n$ について $P (n)$ が成り立つ」ことを示すには、(1) $n = 1$ で成り立つことを確かめ、(2) $n = k$ で成り立つと仮定して $n = k + 1$ でも成り立つことを示します。この2段を、見出しを付けて分けて書き、(2) では「仮定より」と書いた箇所で仮定を使います。数学的帰納法の枠組みで型を確認し、標準の等式、不等式、整除で3種類の主張に適用してください。

不等式の帰納法では、 $n = k + 1$ の式を作るときに、仮定の不等式と「さらに何かを足しても成り立つ」ことの2段階が要ります。整除の帰納法では、 $n = k + 1$ の式を「 $n = k$ の式 × 何か + 割り切れる余り」の形に分解します。応用の2次式の不等式と整除・3次で、この分解の練習ができます。

つまずきやすいところ

漸化式で最も多い誤りは、特性方程式の $α$ を「解」と混同することです。 $α$ は一般項そのものではなく、等比数列を作るために引く定数です。 $a_{n} - α$ の等比数列を書いてから、 $a_{n}$ に戻す手順を省かないでください。

帰納法では、(2) の証明で結論を仮定してしまう(示したい式を使って変形する)誤りがあります。「 $n = k + 1$ で示したい式」は書いておいてよいのですが、それを使わずに、仮定と与えられた条件だけから導く、という筋を守ってください。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、等差・等比・階差・特性方程式の基本型と、帰納法の枠組み、分数の公比・係数の順です。標準12問で指数型、1次式型、連立、分数型、帰納法の3種類、 $S_{n}$ からの漸化式を扱い、応用8問で共鳴、3項間、重解、帰納法の応用、部分分数の階差へ進みます。

入試では、漸化式は確率(確率漸化式)、整数(互いに素の証明)、極限(数学III)と組み合わさって出題されます。実戦編と最難関編には、フィボナッチ数列のビネの公式、黄金比への収束、ハノイの塔、メルセンヌ数の最大公約数など、漸化式が主役になる有名な題材を集めました。

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