特性方程式型(標準)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=3a_n-2$ — 「$3$ 倍して $2$ 引く」の繰り返し。$-2$ さえなければ、ただの等比数列なのに。

そこで、ずらして等比にするのがこの型の定跡だ。うまい数 $\alpha$ を見つけて $a_{n+1}-\alpha =3(a_n-\alpha )$ の形に書き直せれば、$\{a_n-\alpha \}$ が公比 $3$ の等比数列になる。

その $\alpha$ は $\alpha =3\alpha -2$(特性方程式)の解 $\alpha =1$。「引いてから等比、最後に足し戻す」の三段で進む。

① 特性方程式を解く。 $\alpha =3\alpha -2$ より $2\alpha =2$、$\alpha =1$。

② $\alpha$ を引いて等比の形に。

$$a_{n+1}-1=3(a_n-1)$$

③ 置きかえる。 $b_n=a_n-1$ とおくと $b_{n+1}=3b_n$。初項 $b_1=a_1-1=1$。

$$b_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$$

④ $a_n$ に戻す。

$$a_n=3^{n-1}+1$$

まとめ:$p{a}_n+q$ 型は「特性方程式で $\alpha$ → $a_n-\alpha$ が等比」の一本道。$\alpha$ を求めたら、必ず $a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$ の形に書き直してから置きかえるとミスが減る。

発展 — 一歩先へ。 不動点の目で見ると、この数列の行き先も分かる。公比 $3$ は $1$ より大きいから、ずれ $a_n-1=3^{n-1}$ はどんどん膨らむ — 数列は不動点から離れていく。もし漸化式が $a_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_n+2$ のように公比の絶対値が $1$ 未満なら、ずれは縮んで数列は不動点に吸い寄せられる(数IIIの極限で主役になる見方だ)。

「$1$ 次の漸化式は、不動点とそこからのずれ(等比)に分解できる」— この $1$ 行が、この型のすべてを言い尽くしている。

別解

特性方程式がなぜ「$1$ を引け」と教えてくれるのか。先に数列を書き出すと、種明かしが目で見える。

$$a_1=2,a_2=4,a_3=10,a_4=28,\dots$$

このままでは規則が見えにくい。ところが各項から $1$ を引くと

$$1,3,9,27,\dots$$

きれいな $3$ のべき($3^{n-1}$)が現れる。つまり $a_n=3^{n-1}+1$。

なぜ「$1$」だったのか。$1$ は $a_{n+1}=3a_n-2$ に入れても動かない値($1=3\cdot 1-2$)— 数列の不動点だ。不動点からのずれだけを見れば、$-2$ の効果が消えて純粋な $3$ 倍が残る。特性方程式は、この不動点を機械的に探す道具にすぎない。

「書き出す → 何かを引いてそろえてみる」は、特性方程式を忘れたときの復元手段にも、答えの検算にもなる。