数学B / 漸化式と数学的帰納法

指数を含む漸化式

★★★★ 難関漸化式指数型

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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右辺の $3^{n}$ に対応して、 $a_{n}$ に $3^{n}$ の項が現れる。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + (3^{n} の項)$ の形を予想し、漸化式と初項から決める。または両辺を $3^{n + 1}$ で割る。

解答・解説

方針

両辺を $3^{n + 1}$ で割る、または特殊解を $C \cdot 3^{n}$ の形で予想する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + 3^{n}$ とおいて漸化式に合うよう定数を決め、初項で $A$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ 。もし右辺に $3^{n}$ がなければ、ただの公比 $2$ の等比数列だ。

その $3^{n}$ が邪魔で等比にならない。だが逆に、一般項にも $3^{n}$ の形の項が顔を出すはず、と予想できる。

そこで $a_{n} = A \cdot 2^{n} + C \cdot 3^{n}$ とおく。 $2^{n}$ が「等比のなごり(斉次解)」、 $C \cdot 3^{n}$ が「 $3^{n}$ に対応する分(特殊解)」。

漸化式に代入して $3^{n}$ の係数から $C$ を、初項から $A$ を決める。

重要

a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}

型は、

q^{n}

の項の特殊解

C \cdot q^{n}

を予想して合わせる(または両辺を

q^{n + 1}

で割る)

① 特殊解を予想する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + C \cdot 3^{n}$ とおき、漸化式 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ に代入。 $3^{n}$ の項に注目すると $C \cdot 3^{n + 1} = 2 C \cdot 3^{n} + 3^{n}$ 、すなわち $3 C = 2 C + 1$ より $C = 1$ 。

② 初項で $A$ を決める。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + 3^{n}$ 。 $a_{1} = 2 A + 3 = 1$ より $A = - 1$ 。よって

$a_{n} = - 2^{n} + 3^{n} = 3^{n} - 2^{n}$

(検算: $a_{1} = 3 - 2 = 1$ 、 $a_{2} = 9 - 4 = 5$ 。漸化式 $a_{2} = 2 \cdot 1 + 3^{1} = 5$ と一致。)

まとめ: $q^{n}$ を含む漸化式は「特殊解 $C \cdot q^{n}$ を予想 + 斉次解 $A \cdot p^{n}$ 」。 $3^{n}$ の係数を合わせて $C = 1$ 、初項で $A = - 1$ 。両辺を $3^{n + 1}$ で割って $\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}}$ の漸化式にする別法でも同じ答え。

発展 — 一歩先へ。 $a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ 型の一般項は、公比 $p$ と $q$ の $2$ つの等比の差や和になる。今回の $3^{n} - 2^{n}$ もその形だ。

もし $p = q$ (たとえば $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ )なら、特殊解が斉次解と同じ公比とぶつかる。すると $n \cdot 2^{n}$ のような「 $n$ 倍」の項が現れる。

これは振り子に固有振動数と同じリズムの力を加えると振幅が育つ「共鳴」と同じ構造だ。漸化式と微分方程式は、離散と連続の違いだけで、解の作り方(斉次解 $+$ 特殊解)がそっくり対応している。

答

$a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$

別解

別解 — 小さい項を書き出して見抜く(苦手な人向けの実験ルート)。 特殊解を予想するのが不安なら、まず数項を手で計算して規則を探す。

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 2 \cdot 1 + 3 = 5$ 、 $a_{3} = 2 \cdot 5 + 9 = 19$ 、 $a_{4} = 2 \cdot 19 + 27 = 65$ 。

並べると $1, 5, 19, 65$ 。それぞれ $3^{n}$ と $2^{n}$ を書き出すと、 $3 - 2 = 1$ 、 $9 - 4 = 5$ 、 $27 - 8 = 19$ 、 $81 - 16 = 65$ 。ぴたりと合う。

つまり $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ と予想できる。確かめは漸化式への代入で十分で、 $3^{n + 1} - 2^{n + 1} = 2 (3^{n} - 2^{n}) + 3^{n}$ を整理すると $3 \cdot 3^{n} - 2 \cdot 2^{n} = 3 \cdot 3^{n} - 2 \cdot 2^{n}$ と成り立つ。

係数比較で特殊解を作る本解と同じ答え。実験で当たりをつけ、あとで代入して確かめる流れは、型を忘れたときの保険になる。

ポイント

$a_{n} = A \cdot 2^{n} + C \cdot 3^{n}$ 、 $3 C = 2 C + 1$ で $C = 1$ 。
初項で $A = - 1$ 、 $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。

よくある間違い

$3^{n}$ に対応する特殊解を予想せず、等比の部分だけで解こうとして行き詰まる。
特殊解を $C \cdot 3^{n}$ とおいたのに、 $C \cdot 3^{n + 1} = 2 C \cdot 3^{n} + 3^{n}$ の係数比較( $3 C = 2 C + 1$ )を誤る。
$A$ を決めるとき、 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + 3^{n}$ の $n = 1$ 代入 $2 A + 3 = 1$ の計算を誤る。