数学B / 漸化式と数学的帰納法

1次式を含む漸化式

★★★★ 難関漸化式1次式型

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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右辺の $n$ に対応して、 $a_{n}$ に $1$ 次式 $p n + q$ の項が現れると予想する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + p n + q$ とおいて漸化式に代入し、 $p, q$ を係数比較で決める。

解答・解説

方針

右辺の $n$ ( $1$ 次式)に対応して、特殊解を $p n + q$ ( $1$ 次式)の形で予想する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + (p n + q)$ とおき、漸化式に合うよう $p, q$ を決め、初項で $A$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ 。右辺の $n$ さえなければ公比 $2$ の等比数列だ。

その $n$ ( $1$ 次式)が加わったぶん、一般項にも $1$ 次式の項が現れると予想する。

そこで $a_{n} = A \cdot 2^{n} + p n + q$ とおく。 $A \cdot 2^{n}$ が等比のなごり(斉次解)、 $p n + q$ が $n$ に対応する分(特殊解)。

漸化式に代入し、 $n$ の係数と定数を合わせて $p, q$ を、初項で $A$ を決める。

重要

a_{n + 1} = p a_{n} + (n の 1 次式)

型は、特殊解を

1

次式

α n + β

で予想する

① 特殊解を予想する。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} + p n + q$ とおき、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ に代入する。 $1$ 次式の部分だけ見ると

$p (n + 1) + q = 2 (p n + q) + n$

$n$ の係数: $p = 2 p + 1$ より $p = - 1$ 。定数: $p + q = 2 q$ より $q = p = - 1$ 。よって特殊解は $- n - 1$ 。

② 初項で $A$ を決める。 $a_{n} = A \cdot 2^{n} - n - 1$ 。 $a_{1} = 2 A - 2 = 1$ より $A = \frac{3}{2}$ 。よって

$a_{n} = \frac{3}{2} \cdot 2^{n} - n - 1 = 3 \cdot 2^{n - 1} - n - 1$

(検算: $a_{1} = 3 - 2 = 1$ 、 $a_{2} = 6 - 3 = 3$ 。漸化式 $a_{2} = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ と一致。)

まとめ: $1$ 次式を含む漸化式は「特殊解を $1$ 次式 $α n + β$ で予想 + 斉次解 $A \cdot p^{n}$ 」。係数比較で $p = - 1, q = - 1$ 、初項で $A = \frac{3}{2}$ 。 $\frac{3}{2} \cdot 2^{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ と整えるときれい。

発展 — 一歩先へ。 右辺に加わるもの(非斉次項)が $k$ 次式なら、特殊解も $k$ 次式でおくのが原則。 $3^{n}$ なら $C \cdot 3^{n}$ 、 $n$ なら $p n + q$ 、 $n^{2}$ なら $2$ 次式、という具合だ。

ただし例外がある。非斉次項が斉次解と同じ形( $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ の $2^{n}$ など)のときは、特殊解の次数を $1$ つ上げる。ここでも「共鳴」が起きる。

この「斉次解 $+$ 特殊解」「非斉次項の形に合わせて特殊解をおく」枠組みは、線形微分方程式とまったく同じ。離散版の未定係数法だ。

答

$a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - n - 1$

別解

別解 — 階差をとって $n$ を消す(得意な人向けの視点)。 特殊解を予想せずとも、 $1$ 個ずらして引けば厄介な $n$ が消せる。

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ の添字を $1$ つ上げた $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + (n + 1)$ から、もとの式を引く。

$a_{n + 2} - a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - a_{n}) + 1.$

$c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ (階差)とおくと $c_{n + 1} = 2 c_{n} + 1$ 。これは特性方程式型で、 $c_{n} + 1 = 2 (c_{n - 1} + 1)$ と等比化できる。

$c_{1} = a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$ だから $c_{n} + 1 = 3 \cdot 2^{n - 1}$ 、すなわち $c_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1$ 。これを初項に積み上げると

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 c_{k} = 1 + 3 (2^{n - 1} - 1) - (n - 1) = 3 \cdot 2^{n - 1} - n - 1.$

特殊解を予想する本解と同じ。 $1$ 次式が邪魔なら「ずらして引いて消す」のも定番の一手だ。

ポイント

特殊解 $p n + q$ を予想、係数比較で $p = q = - 1$ 。
初項で $A = \frac{3}{2}$ 、 $a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - n - 1$ 。

よくある間違い

特殊解を定数 $q$ だけで予想し、 $1$ 次の項 $p n$ を落として係数比較が合わなくなる。
$p (n + 1) + q = 2 (p n + q) + n$ の展開・整理を誤り、 $p = - 1, q = - 1$ を出せない。
初項の代入 $a_{1} = 2 A - 2 = 1$ から $A = \frac{3}{2}$ を求める部分で、 $- n - 1$ の $n = 1$ 値 $- 2$ を取り違える。