等比数列と見抜く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=3$ — 比が、いつでも $3$ で一定。

「比が一定」なら、等比数列である。

$$2\stackrel{\times 3}{\to }6\stackrel{\times 3}{\to }18\stackrel{\times 3}{\to }54$$

分母を払えば、見慣れた形に戻る。

$$a_{n+1}=3a_n$$

差の形が等差だったように、比の形は等比だ。

• $a_{n+1}-a_n=d$(差が一定)→ 等差
• $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$(比が一定)→ 等比

引き算か、割り算か。 ここを読み取れば、型は決まる。まず分母を払って、いつもの形に直そう。

① 型を見抜く。 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=3$(比が一定)なので、公比 $3$ の等比数列。

② 一般項を書く。 初項 $2$、公比 $3$。

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}$$

まとめ:漸化式が「比 = 一定」の形なら等比数列。公比はその値。等差の「差」に対して、等比は「比」を見る、と対にして覚える。

発展 — 一歩先へ。 「比が一定かどうか」を見る目は、現実のデータを読むときに効いてくる。

感染症の広がりを考えよう。

$1$ 人の感染者が、平均して $R$ 人にうつすとする($R$ を実効再生産数という)。

世代ごとの感染者数は

$$a_{n+1}=R\cdot a_n$$

まさに、この問題の漸化式だ。

$R=3$ なら、$1$ 人から始まって

$$1,3,9,27,81,243,\dots$$

$5$ 世代で $243$ 倍。 これが「指数関数的増加」の恐ろしさである。

では、$R$ を $1$ 未満にできたら?

$$R=0.9⟹1,0.9,0.81,0.729,\dots$$

減っていく。 やがて $0$ に近づく(収束する)。

$$\boxed{R>1\text{ なら爆発、}R<1\text{ なら収束}}$$

$R=1$ が、運命の分かれ目だ。 $R$ が $1.1$ か $0.9$ かで、結果は正反対になる。

この $1$ という境目こそが、対策の目標になる。

同じ構造が、あちこちにある。

• 人口: $1$ 組の夫婦から生まれる子が平均 $2$ 人未満なら、人口は減る
• 核分裂: $1$ 個の中性子が次に $1$ 個以上を生むかどうかが、臨界の条件
• 投資: 年利 $r$ なら $a_{n+1}=(1+r)a_n$。複利は等比数列である

「比を見る」ことの意味。

差(増えた人数)を見ると「先週より $100$ 人増えた」で終わる。比を見ると「$1.2$ 倍になった」と分かり、来週の予測ができる。

等比数列の見方を持っている人は、変化のスピードそのものを読める。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}—\text{この 1 つの数が、未来を語る。}$$

別解

「比の積」で一気に求める。

比が与えられているのだから、比をそのまま掛け合わせてみよう。

$$\frac{a_2}{a_1}\times \frac{a_3}{a_2}\times \frac{a_4}{a_3}\times \cdots \times \frac{a_n}{a_{n-1}}$$

分子と分母が、次々に約分される。

$$=\frac{a_n}{a_1}$$

残るのは両端だけ。 望遠鏡を畳むように、途中がすべて消える(等差のときは差の"和"で消えた。等比では比の"積"で消える)。

一方、各因子はすべて $3$ である。 因子は $n-1$ 個。

$$\frac{a_n}{a_1}=3^{n-1}$$

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}✓$$

公式と同じ答え。

さらに、この式を別の形に書き直してみる。

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}=\frac{2}{3}\cdot 3^n$$

$3^n$ の形になった。

この形が語ること。 $a_n$ は、指数関数 $y=\frac{2}{3}\cdot 3^x$ の、$x=1,2,3,\dots$ での値である。

等差数列が $1$ 次関数($=$ 直線)の飛び飛びの値だったのと、ちょうど対をなす。

• 等差数列 $\leftrightarrow$ $1$ 次関数(まっすぐ増える)
• 等比数列 $\leftrightarrow$ 指数関数(加速して増える)

どちらの表示を使うか。

$$2\cdot 3^{n-1}\text{と}\frac{2}{3}\cdot 3^n$$

値はまったく同じ。 前者は「初項 $\times$ 公比の累乗」という数列の顔、後者は「指数関数」という関数の顔である。

確かめる。 $n=1$ で $\frac{2}{3}\times 3=2$ ✓、$n=4$ で $\frac{2}{3}\times 81=54$ ✓

$1$ つの数列に、$2$ つの顔がある。 場面に応じて、見やすいほうを使えばよい。