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数学A

場合の数 順列・組合せ

数え上げの原則、順列・組合せとその応用(円順列・重複順列・同じものを含む順列・組分け)を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 集合の要素の個数(個数定理)
  2. 樹形図・辞書式にすべて書き上げる
  3. 和の法則・積の法則
  4. 約数の個数と総和
  5. 順列 nPr
  6. 0を含む数字で整数を作る
  7. 隣り合う・隣り合わない順列
  8. 円順列
  9. 重複順列
  10. 組合せ nCr
  11. 同じものを含む順列
  12. 最短経路の数

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 3つの集合の個数定理
  2. じゅず順列
  3. 円卓に男女が交互に座る
  4. 多角形の対角線と三角形の個数
  5. 同じ文字を含む語の並べ替え
  6. 条件つきの組合せ(委員の選出)
  7. 組分け(区別のある組・ない組)
  8. 部屋割り(重複順列と空室の条件)
  9. 指定の点を通る最短経路
  10. 約数の個数・偶数の約数・総和
  11. 0を含む数字で作る整数(倍数・偶奇)
  12. 共線点を含む配置の直線と三角形

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 重複組合せ(果物の選び方)
  2. 完全順列(プレゼント交換)
  3. 領域の塗り分け(隣接する領域)
  4. 通行止めのある最短経路
  5. 9人を3人ずつ3組に分ける
  6. 辞書式順序(何番目の数か)
  7. 同じ玉を分ける(整数解の個数)
  8. 2つの隣接条件(包除原理)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 男女が交互でない円順列(隣り合わない配置)
  2. 立方体の6面を6色で塗り分ける
  3. 同じ文字が隣り合わない並べ方
  4. 指定の点を通り別の点を通らない最短経路
  5. 組の大きさを指定しない組分け
  6. 0を含む数字で作る3桁の偶数
  7. 指定の数が定位置に来ない順列(包除原理)
  8. 円周上の点を結ぶ弦の交点の個数

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 対角線を越えない最短経路(カタラン数と反射原理)
  2. 2×n をタイルで敷き詰める(フィボナッチ数)
  3. 3つの箱に空なしで入れる(全射と包除原理)
  4. 斜めの和の公式(組合せの意味で示す)
  5. オイラー関数の和(約数で分類する)
  6. 符号つき二項和(全射の数え上げ)
  7. 円環をk色で塗り分ける(数え上げと漸化式)
  8. グループ分けの総数(ベル数の漸化式)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 和が30になる大小順の組
  2. 同じ色を2個ずつ含む円順列
  3. 山型に並ぶ順列
  4. 完全順列の漸化式
  5. 対角線から離れない最短経路
  6. 格子点が作る正方形の総数
  7. 円周上の8点を結ぶ弦が作る領域
  8. 格子点が作る三角形の個数

場合の数の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問