場合の数 — 順列・組合せ

あるクラス40人に、犬と猫を飼っているかを尋ねた。犬を飼っている生徒は22人、猫を飼っている生徒は15人、犬も猫も飼っている生徒は8人であった。

(1) 犬または猫を飼っている生徒は何人か。

(2) 犬も猫も飼っていない生徒は何人か。

100円硬貨、10円硬貨、5円硬貨を1枚ずつ、同時に投げる。表と裏の出方は全部で何通りあるか。すべて書き上げて求めよ。

あるレストランには、前菜が3種類、主菜が4種類、デザートが2種類ある。

(1) 前菜・主菜・デザートを1品ずつ選ぶとき、選び方は何通りか。

(2) 主菜またはデザートのうち、どれか1品だけを選ぶとき、選び方は何通りか。

72 について、次の問いに答えよ。

(1) 72 の正の約数は何個あるか。

(2) 72 の正の約数の総和を求めよ。

7人の生徒の中から、委員長・副委員長・書記をそれぞれ1人ずつ選ぶ。選び方は何通りあるか。

0, 1, 2, 3, 4 の5個の数字から異なる3個を使って、3桁の整数を作る。

(1) 全部で何個できるか。

(2) そのうち偶数は何個できるか。

男子3人、女子2人の合計5人が1列に並ぶ。

(1) 女子2人が隣り合う並び方は何通りか。

(2) 女子2人が隣り合わない並び方は何通りか。

6人が円形のテーブルに等間隔で座る。回転して同じ並びになるものは同じ座り方とみなす。

(1) 座り方は全部で何通りか。

(2) 特定の2人 A, B が隣り合う座り方は何通りか。

A, B, C の3人が、それぞれ赤・青・黄・緑の4色のカードから好きな色を1枚選ぶ。同じ色を何人が選んでもよい。色の選び方は全部で何通りあるか。

8人の生徒の中から、掃除当番を3人選ぶ。3人に役割の区別はない。選び方は何通りあるか。

A, A, A, B, B, C の6文字を1列に並べる。並べ方は全部で何通りあるか。

図のような格子状の道路がある。横に4区画、縦に3区画である。左下の地点 A から右上の地点 B まで、遠回りせずに(右または上にだけ進んで)行く。最短経路は全部で何通りあるか。

1 から 100 までの整数について、次の個数を求めよ。

(1) 2 の倍数または 3 の倍数である数。

(2) 2 でも 3 でも 5 でも割り切れない数。

色の異なる6個の玉を糸に通して輪にし、首飾りを作る。作り方は全部で何通りあるか。回転や裏返しで一致するものは同じ首飾りとみなす。

男子3人、女子3人が円形のテーブルに、男女が交互になるように座る。座り方は何通りあるか。回転して同じになるものは同じ座り方とみなす。

正八角形について、次の問いに答えよ。

(1) 対角線は全部で何本あるか。

(2) 3個の頂点を結んでできる三角形は全部で何個あるか。

「TOMATO」の6文字をすべて1列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りか。

(2) 両端がともに O である並べ方は何通りか。

男子6人、女子4人の合計10人の中から、4人の委員を選ぶ。

(1) 選び方は全部で何通りか。

(2) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方は何通りか。

(3) 特定の1人 A を必ず含む選び方は何通りか。

6人を2人ずつ3つの組に分ける。

(1) A, B, C と区別された3つの組に分ける方法は何通りか。

(2) 単に3つの組に分ける(組に区別はない)方法は何通りか。

5人を、区別できる3つの部屋 A, B, C に入れる。

(1) 空室があってもよいとき、入れ方は何通りか。

(2) どの部屋にも少なくとも1人が入るとき、入れ方は何通りか。

横に4区画、縦に3区画の格子状の道路がある。左下の A から右上の B まで、右または上にだけ進んで最短で行く。途中の交差点 P(A から右へ2区画、上へ1区画進んだ点)を必ず通る経路は何通りあるか。

540 について、次の問いに答えよ。

(1) 正の約数は何個あるか。

(2) 正の約数のうち、偶数であるものは何個あるか。

(3) 正の約数の総和を求めよ。

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個を使って、4桁の整数を作る。

(1) 全部で何個できるか。

(2) 5の倍数は何個できるか。

(3) 奇数は何個できるか。

平面上に10個の点がある。そのうち4個は一直線上に並んでいるが、それ以外はどの3個も一直線上にはない。

(1) これらの点のうち2個を結んでできる直線は何本あるか。

(2) これらの点のうち3個を結んでできる三角形は何個あるか。

りんご、みかん、なしの3種類の果物が、それぞれ十分たくさんある。この中から合計8個を買う。同じ種類を何個買ってもよく、買わない種類があってもよい。買い方は全部で何通りあるか。

4人 A, B, C, D がそれぞれ1個ずつプレゼントを持ち寄り、よくかき混ぜてから1人1個ずつ配り直す。全員が自分の持ってきたプレゼント以外を受け取る配り方は何通りあるか。

図のように、円の中心部の領域と、それを囲む4つの扇形の領域がある。隣り合う領域(辺を共有する領域)は異なる色になるように、赤・青・黄・緑の4色から選んで塗る。4色すべてを使う必要はない。塗り方は全部で何通りあるか。

横に4区画、縦に3区画の格子状の道路がある。左下の A から右上の B まで、右または上にだけ進んで最短で行く。ただし、A から右へ2区画・上へ1区画進んだ交差点 P から、その右どなりの交差点 Q(P から右へ1区画)へ向かう道が工事中で通れない。この工事区間を通らない最短経路は何通りあるか。

9人を3人ずつ3つの組に分ける。

(1) A, B, C と名前のついた3つの組に分ける方法は何通りか。

(2) 組に名前をつけず、単に3つの組に分ける方法は何通りか。

1, 2, 3, 4, 5 の5個の数字をすべて使ってできる5桁の整数を、小さい順に並べる。

(1) 51234 は小さいほうから何番目か。

(2) 小さいほうから80番目の数を求めよ。

区別のできない10個の玉を、3人 A, B, C に分ける。

(1) 1個ももらえない人がいてもよいとき、分け方は何通りか。

(2) 3人とも少なくとも1個はもらうとき、分け方は何通りか。

6人 A, B, C, D, E, F が1列に並ぶ。A と B が隣り合わず、かつ C と D も隣り合わない並び方は何通りあるか。

男子 $4$ 人、女子 $4$ 人が円形のテーブルに着席する。女子どうしがどの $2$ 人も隣り合わないような座り方は何通りあるか。回転して一致する並びは同じとみなす。

立方体の $6$ つの面を、異なる $6$ 色すべてを使って塗り分ける。回転して一致する塗り方は同じとみなすとき、塗り方は何通りあるか。

$\mathrm{a}$ が $3$ 個、$\mathrm{b}$ が $2$ 個、$\mathrm{c}$ が $1$ 個の計 $6$ 文字を $1$ 列に並べる。$3$ 個の $\mathrm{a}$ がどの $2$ つも隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

下の図のような碁盤の目の道がある。地点 $\mathrm{A}$ から地点 $\mathrm{B}$ まで最短距離で行く経路のうち、地点 $\mathrm{P}$ を通り、かつ地点 $\mathrm{Q}$ を通らない経路は何通りあるか。$\mathrm{A}=(0,0)$、$\mathrm{B}=(5,4)$、$\mathrm{P}=(2,1)$、$\mathrm{Q}=(3,3)$ とする。

$6$ 人を $3$ つの組に分ける方法は何通りあるか。ただし、どの組にも少なくとも $1$ 人は入るものとし、組の人数は問わない。また、組は区別しないものとする。

$0,1,2,3,4$ の $5$ 個の数字から異なる $3$ 個を選んで $3$ 桁の整数を作る。このうち偶数は何個あるか。

$1,2,3,4,5,6$ を $1$ 列に並べる。$1$ が $1$ 番目に、$2$ が $2$ 番目に、$3$ が $3$ 番目に来ることがいずれもないような並べ方は何通りあるか($4,5,6$ の位置は問わない)。

円周上に異なる $10$ 個の点がある。これらの点のうち $2$ 点を結ぶ線分(弦)をすべて引くとき、円の内部にできる交点は最大で何個か。ただし、どの $3$ 本の弦も円の内部の同じ点では交わらないものとする。

格子を右または上へ1歩ずつ進んで $(0,0)$ から $(n,n)$ へ行く最短経路のうち、つねに $y\le x$(対角線 $y=x$ を上に越えない)ものの総数を求めよ。

$2\times n$ のマス目を $1\times 2$ のタイル(縦でも横でもよい)で隙間も重なりもなく敷き詰める方法の総数 $a_n$ を求めよ。

$n$ 個の異なる玉を、区別できる $3$ つの箱にどの箱も空にならないように入れる方法の総数を求めよ($n\ge 3$)。

$0\le r\le n$ とする。$\sum _{k=r}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{r+1}\right)$ を、組合せの意味(何を選ぶか)から説明して示せ。

$n$ 以下の自然数で $n$ と互いに素なものの個数を $\phi (n)$ とする。$\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$($d$ は $n$ の正の約数を動く)を示せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^n$ を求めよ。

$n$ 個のマスを円形に並べ、隣り合うマスが異なる色になるように $k$ 色で塗る方法の総数 $c_n$ を求めよ($n\ge 3,k\ge 2$)。

$n$ 人を、区別のないグループにいくつかに分ける方法の総数(各人はちょうど1グループ、空グループは作らない)をベル数 $B_n$ とし、$B_0=1$ とする。(1) $B_{n+1}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)B_k$ を示せ。

(2) $B_4$ を求めよ。

$x+y+z=30$ を満たす0以上の整数の組 $(x,y,z)$ のうち、$x\le y\le z$ を満たすものは何個あるか。

赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個の玉を円形に並べる方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する並べ方は同じものとみなす。同じ色の玉は区別しない。

1から8までの数を1つずつ使って一列に並べる。並びが、ある位置まで増加し、その位置から後は減少する「山型」になるものは何通りあるか。ただし、増加する部分と減少する部分は、頂上以外にそれぞれ1個以上の数を含むものとする。

$n$ 人が1個ずつプレゼントを持ち寄り、全員が自分の持ってきたもの以外のプレゼントを1個ずつ受け取る配り方の総数を $D_n$ とする($D_1=0,D_2=1$)。

(1) $n\ge 3$ のとき、$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ が成り立つことを示せ。

(2) $D_6$ を求めよ。

座標平面上を、点 $(0,0)$ から点 $(8,8)$ まで、$x$ 軸方向または $y$ 軸方向に1ずつ進む最短経路を考える。途中で通るどの点 $(x,y)$ でも $|x-y|\le 2$ が成り立つような経路は何通りあるか。

座標平面上の25個の格子点 $(x,y)$($x,y$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数)のうちの4点を頂点とする正方形は、全部で何個あるか。辺が座標軸に平行なものだけでなく、傾いた正方形も数える。

円周上に8個の点があり、これらの点を結ぶどの3本の弦も、円の内部の同じ1点では交わらないものとする。8個の点のうちのすべての2点を弦で結ぶとき、円の内部は何個の領域に分かれるか。

座標平面上の25個の格子点 $(x,y)$($x,y$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数)から異なる3点を選ぶ。選んだ3点が三角形の頂点になる選び方は何通りあるか。