数学A / 場合の数

共線点を含む配置の直線と三角形

★★ 標準図形の個数組合せ

問題

平面上に10個の点がある。そのうち4個は一直線上に並んでいるが、それ以外はどの3個も一直線上にはない。

(1) これらの点のうち2個を結んでできる直線は何本あるか。

(2) これらの点のうち3個を結んでできる三角形は何個あるか。

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『どの3点も一直線にない』なら選ぶだけで直線・三角形になるが、4点が一直線に並ぶのが例外。(1)全ペアから、その4点のペアを引いて、代わりに1本を足す。(2)全3点から、その4点から3点を選ぶ分(三角形にならない)を引く。

解答・解説

方針

点をただ結ぶだけなら組合せで数えられる。でもこの問題には「4点が一直線上にある」という落とし穴がある。

一直線上の4点からできる線分は、本数こそ $_{4} C_{2}$ あるが、直線としてはすべて同じ1本だ。また、その4点から3個選んでも三角形にはならない(一直線だから)。

この「直線がダブる」「三角形がつぶれる」の2つを直すのがポイントだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点をただ結ぶだけなら組合せで数えられる。この問題の罠は「4点が一直線上」という配置だ。

一直線上の4点から2点を選んでも、できる直線はぜんぶ同じ1本。 $_{4} C_{2} = 6$ 通りの選び方が1本に融合してしまう。3点選んでも三角形はつぶれる。

「直線がダブる」「三角形がつぶれる」。この2つを、選び方の総数から補正するのが本筋だ。

10点のうち4点が一直線上、他はどの3点も共線でない

重要共線点の補正:全ペア

_{n} C_{2}

から、一直線上の点が作る重複を引く

(1) ふつうはどの2点も1本の直線を決めるので、まず $_{10} C_{2} = 45$ 通りのペアを考える。でも一直線上に並ぶ4点については、そこから選ぶ $_{4} C_{2} = 6$ 組のペアが、すべて同じ1本の直線を表している。だから6本と数えるのは間違い。6を引いて、代わりに実際の1本を足す。

$_{10} C_{2} -_{4} C_{2} + 1 = 45 - 6 + 1 = 40 (本)$

(2) ふつうは3点を選べば三角形ができるので、まず $_{10} C_{3} = 120$ 通り。ただし、一直線上の4点から3個を選んだ場合( $_{4} C_{3} = 4$ 通り)は、3点が一直線に並んで三角形にならない。これを除く。

$_{10} C_{3} -_{4} C_{3} = 120 - 4 = 116 (個)$

まとめ:一直線上の点があるときは「直線はダブりを1本にまとめる」「三角形はつぶれる組を除く」の2つを直す、と覚えよう。もし一直線の点がなければ(1)は45本、(2)は120個のはずで、そこからのズレが一直線の効果だ。

発展 — 一歩先へ。 「選び方と図形が1対1」という前提が崩れたとき、修理の仕方は2通りある。総数から壊れた分を補正するか(引いて足す)、最初から壊れない場合分けで構成するか。この2本立ては数え上げ全般の検算術だ。

共線の点が2組ある配置や、平行線が混ざる「交点の個数」の問題も、同じ2本立てで処理できる。設定が複雑になるほど、直接構成の場合分けの明快さが効いてくる。

答

(1) 40本 (2) 116個

別解

補正方式が不安なら、「直接構成」で場合分けして数え上げる道もある。共線の4点を特別グループ、残り6点を一般グループと呼ぶことにする。

(1)の直線を、両端の所属で分類する。

特別グループどうし: 何本選んでも同じ直線なので $1$ 本
特別1点+一般1点: $4 \times 6 = 24$ 本
一般どうし: $_{6} C_{2} = 15$ 本

合計 $1 + 24 + 15 = 40$ 本。

(2)の三角形は、特別グループから何点使うかで分類する。 $0$ 点なら $_{6} C_{3} = 20$ 、 $1$ 点なら $4 \times_{6} C_{2} = 60$ 、 $2$ 点なら $_{4} C_{2} \times 6 = 36$ 。 $3$ 点は一直線でつぶれて $0$ 。

合計 $20 + 60 + 36 = 116$ 個。どちらも補正方式と一致する。引き算の補正と、場合分けの構成。2つの道で同じ答えに着けば、まず間違いない。

ポイント

一直線上の $m$ 点は、直線を $_{m} C_{2}$ 本でなく1本にまとめる(ダブりを直す)
直線の本数 $=_{n} C_{2} -_{m} C_{2} + 1$
三角形の個数 $=_{n} C_{3} -_{m} C_{3}$ (一直線の3点はつぶれる)

よくある間違い

(1)で共線ペアの $6$ 通りを引くだけで、実在する1本を足し戻さない( $- 6 + 1$ がセット)
(2)で共線の影響を忘れ $_{10} C_{3} = 120$ のまま答える
「それ以外はどの3点も一直線上にない」という断り書きを読み飛ばし、補正の要否を判断しない