円順列

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円卓では回転して重なる並びは同じものとみなす。$1$ 列に並べる $6!$ 通りをそのまま答えにすると、同じ座り方を $6$ 回ずつ数えてしまう(円を $1$ 目盛りずつ回した $6$ 通りが全部同じだから)。

対処は $2$ つある。

• 割る: $\frac{6!}{6}=120$
• 固定する: $1$ 人の席を決めてしまう。$\mathrm{A}$ を「北」の席に固定すれば、もう回転の自由はない。残り $5$ 人を並べて $5!=120$

どちらでも同じだが、固定する考え方のほうが応用が効く。「誰か $1$ 人を基準にして、そこから見た並びを数える」— これが円順列の本質だ。

(2)も同じ発想で、$\mathrm{A}$ を固定してから $\mathrm{B}$ の座れる席を考えればよい。

(1) 円で並べるときは、回転して同じになるものを1つと数えたい。そこで、まず1人の席を固定してしまう。すると、残りの5人を、固定した人から見た残りの席に並べる問題になる。

$$(6-1)!=5!=120(\text{通り})$$

$6!$ としないのは、6通りの回転がどれも同じ並びを表すからだ。だから $6!÷6=5!$ と、数え過ぎた分を割り落とす。「1人を固定する」というのは、この割り算を先に済ませたのと同じことだ。

(2) A, Bをひもで結んで1つのかたまりにする。すると「かたまり + 残り4人」の5つを円形に並べる問題になるので $(5-1)!=4!=24$ 通り。さらに、かたまりの中でA, Bの並ぶ順が $2!=2$ 通り。

$$(5-1)!\times 2!=24\times 2=48(\text{通り})$$

まとめ:隣り合う条件は、1列のときと同じで「かたまりにして、中の並びも数える」。違うのは、かたまりにしたあとが円順列なので $(5-1)!$ になる点だけだ。

発展 — 一歩先へ。 円順列は「回転で移り合うものを同じとみなす」数え方だった。では、裏返しも同じとみなしたらどうなるか。

たとえば $6$ 個のビーズで首飾りを作るとき、裏返せば時計回りと反時計回りは区別できない。このときの数え方をじゅず順列といい、円順列をさらに $2$ で割る。

$$\frac{(6-1)!}{2}=\frac{120}{2}=60(\text{通り})$$

「同じとみなす操作」が増えるほど、割る数が増える。 回転($6$ 通り)で割り、さらに裏返し($2$ 通り)で割る — この「対称性の数だけ割る」という発想は、大学で学ぶ群論(対称性の数学)の入口である。

ただし注意が必要だ。裏返して自分自身に重なる並びがあると、単純に $2$ で割るのは誤りになる(その並びは $2$ 回数えられていないから)。今回のように全員が異なる人なら問題ないが、同じ色のビーズが混じると話が変わる。

「割り算で重複を消す」ときは、"すべてがちょうど同じ回数だけ重複しているか"を必ず確かめる — 場合の数で最も注意すべき落とし穴である。

別解

$\mathrm{A}$ の席を固定するという一手だけで、(1)も(2)も暗算に近くなる。円順列の問題は、これ $1$ つで戦える。

(1) $\mathrm{A}$ を固定して数える。

$\mathrm{A}$ をテーブルの「$12$ 時の席」に座らせてしまう。もう回転はできない($\mathrm{A}$ の位置が動かないから)。

残り $5$ 人を、$\mathrm{A}$ から時計回りに $5$ つの席へ並べるだけ。

$$5!=120(\text{通り})$$

「$(n-1)!$」という公式の $-1$ は、$1$ 人を固定したからである。丸暗記でなく、こう理解しておけば忘れない。

(2) $\mathrm{A}$ を固定し、$\mathrm{B}$ の席を考える。

$\mathrm{A}$ は $12$ 時に固定。$\mathrm{A}$ の隣は左隣と右隣の $2$ 席。$\mathrm{B}$ はこのどちらかに座る。

$$\text{B の席: }2\text{通り}$$

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の席が決まれば、残り $4$ 人を残り $4$ 席に自由に並べるだけ。

$$4!=24(\text{通り})$$

したがって

$$2\times 24=48(\text{通り})$$

公式ルート($(5-1)!\times 2!=24\times 2=48$)と同じ答えになった ✓。

固定法の利点は、$2$ つある。

$1$ つ目: 「かたまりを作った後も円順列」という罠を踏まない。 (2)を「$\mathrm{AB}$ をかたまりにして $5$ 個を並べる」と考えたとき、$5!$ としてしまう誤りが非常に多い。円卓なのだから、かたまりにした後も円順列で $(5-1)!$ である。固定法なら、そもそもこの罠がない。

$2$ つ目: 条件が増えても素直に伸びる。 「$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ が向かい合う」なら、$\mathrm{A}$ を固定した時点で $\mathrm{B}$ の席は $1$ 通りに決まり、$4!=24$ 通り。「$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ が隣り合わない」なら、$\mathrm{B}$ の席は隣 $2$ 席を除く $3$ 通りで $3\times 4!=72$ 通り(検算: $120-48=72$ ✓)。

円順列は「誰か $1$ 人の目線に立つ」ことで、ただの順列に化ける。 回転の自由度という厄介者を、$1$ 人を釘づけにすることで消し去るのだ。