数学A / 場合の数

多角形の対角線と三角形の個数

★★ 標準図形の個数組合せ

問題

正八角形について、次の問いに答えよ。

(1) 対角線は全部で何本あるか。

(2) 3個の頂点を結んでできる三角形は全部で何個あるか。

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(1)頂点2個を結ぶ線分の総数から『辺』を除けば対角線。(2)どの3頂点を選んでも三角形になる(3点が一直線にないので)— 頂点3個の選び方そのもの。

解答・解説

「頂点を結ぶ」線分や三角形の数は、頂点を選ぶ組合せに置きかえられる。

8個の頂点から2個選べば線分が1本、3個選べば三角形が1つ決まる。だから、線分の数は $_{8} C_{2}$ 、三角形の数は $_{8} C_{3}$ で数えられる。

対角線は、全部の線分から辺を除けばよい。三角形は、正八角形ではどの3頂点も一直線に並ばないので、3個選ぶ組合せがそのまま個数になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「頂点を結ぶ」線分や三角形の個数は、頂点を「選ぶ」組合せに翻訳できる。

8個の頂点から2個選べば線分が1本、3個選べば三角形が1つ、それぞれ自動的に決まるからだ。

対角線は、全部の線分 $_{8} C_{2}$ から辺の8本を除けばよい。三角形は、正八角形ではどの3頂点も一直線に並ばないので、 $_{8} C_{3}$ がそのまま答えになる。

正八角形。頂点を結んで対角線・三角形をつくる

公式

n

個の点から2個選ぶと線分が1本 → 線分の総数は

_{n} C_{2}

(1) 8個の頂点から2個選ぶと線分が1本決まる。だから頂点を結ぶ線分は全部で

$_{8} C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 (本)$

このうち8本は多角形の辺(となり合う頂点を結んだもの)だ。対角線は辺ではない線分なので

$28 - 8 = 20 (本)$

(2) 3個の頂点を選べば三角形が1つ決まる。正八角形では、どの3頂点も一直線には並ばない(必ず三角形になる)ので、選び方がそのまま三角形の個数になる。

$_{8} C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 (個)$

まとめ:(2)で「どの3頂点も一直線に並ばない」とわざわざ確かめたのは、もし3点が一直線に並ぶ配置があれば、その組は三角形にならないので除く必要があるからだ。凸多角形なら心配ないが、点がバラバラに配置された問題では必ず確認しよう。

発展 — 一歩先へ。 「図形の個数=頂点の選び方」という翻訳は、選ぶ個数を変えるだけで色々な量が数えられる。4個選べば内部の対角線の交点(どの2本の対角線も別の点で交わる場合)、という具合だ。

ただし翻訳が通用するのは「選び方と図形が1対1」のときだけ。次の共線点の問題のように、一直線上の点が混ざると1対1が崩れて補正が要る。対応が崩れていないかの確認が、この型の急所である。

答

(1) 20本 (2) 56個

(1)は「1つの頂点から数える」ルートでも出せる。

1つの頂点から対角線を引ける相手は、自分自身と両隣の2頂点を除いた $8 - 3 = 5$ 個。

頂点は8個あるから $8 \times 5 = 40$ 本、としたいところだが、これは1本の対角線を両端で1回ずつ、計2回数えている。だから2で割る。

$\frac{8 \times 5}{2} = 20 (本)$

「掛けてから、二重に数えた回数で割る」。この数え方は、握手の総数(全員が握手したら何回か)と同じ構造だ。組合せの式 $_{8} C_{2} = \frac{8 \times 7}{2}$ の中に、すでにこの「÷2」が組み込まれていることも見えてくる。