0を含む数字で整数を作る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $0$ が入っているのがこの問題の急所だ。

$0$ は百の位に置けない。 $012$ は $3$ 桁の数ではないからである。

だから制約のきついところ(百の位)から先に決める。これは数え上げの鉄則だ。

• 百の位: $0$ は使えないので $1,2,3,4$ の $4$ 通り
• 十の位: 百の位で使った $1$ 個を除いた残り $4$ 個($0$ も使える)→ $4$ 通り
• 一の位: さらに $1$ 個減って $3$ 通り

$$4\times 4\times 3=48$$

(2)の偶数はもう $1$ つ条件が増える — 一の位が $0,2,4$。ここでも「制約のきつい一の位」から決めるが、一の位が $0$ のときとそうでないときで、百の位の自由度が変わる。だから場合分けが要る。

(1) 条件のきつい百の位から決める。百の位に0は置けないので、$1,2,3,4$ の4通り。残る十の位・一の位には、まだ使っていない4個(0を含む)から2個を選んで並べるので ${}_4{\mathrm{P}}_2=4\times 3=12$ 通り。かけ算して

$$4\times 12=48(\text{個})$$

(2) 偶数になるのは、一の位が $0,2,4$ のとき。ここで、一の位が0のときと、2や4のときで事情が変わる。だから場合を分ける。

一の位が0のとき: 0は一の位で使ってしまったので、百の位は残り $1,2,3,4$ の4通り。十の位は残り3個から3通り。$4\times 3=12$ 個。

一の位が2のとき: 百の位は0と2を除いた $1,3,4$ の3通り。十の位は残り3個から3通り。$3\times 3=9$ 個。

一の位が4のとき: 同じように $3\times 3=9$ 個。

この3つは同時に起きないので、たして

$$12+9+9=30(\text{個})$$

まとめ:一の位を0とそれ以外で分けたのは、一の位が0のときだけ、百の位が0を気にせず4通り選べるからだ。ここを分けないと数を間違える。

発展 — 一歩先へ。 この問題が教えているのは「条件のきついところから決める」という数え上げの原則だ。

なぜか。ゆるいところから決めると、後で来る「きつい条件」の選択肢数がその前の選択に依存して変わってしまい、単純なかけ算ができなくなるからである。十の位から先に決めると、そこに $0$ を入れたかどうかで百の位の候補数が変わる — 場合分けが増えるだけだ。

同じ原則は、あらゆる場面に顔を出す。

• 数独やパズルは、候補の少ないマスから埋める
• 方程式は、条件の強い式から使う
• 図形問題は、直角や等辺のある部分から攻める

自由度の低いところが、全体の形を決める。 これは数学に限らない、問題解決の一般則だろう。

なお、$0$ を含む数字の問題では「$0$ を使わない場合」と「$0$ を使う場合」で分ける手もある。どのルートを通っても答えは同じだが、場合分けの数が少ないルートを選ぶ — その判断力こそが、数え上げの実力である。

別解

「引き算で数える」ルートを通ってみよう。数えにくいものを直接数えず、全体から要らないものを引く — 場合の数の最重要テクニックだ。

(1) 引き算で。

まず「$0$ を先頭に置いてもよい」ことにして、$5$ 個から $3$ 個を選んで並べる。

$${}_5{\mathrm{P}}_3=5\times 4\times 3=60(\text{通り})$$

このうち、百の位が $0$ になってしまったものを数えて引く。百の位が $0$ と決まると、残る十の位・一の位は $1,2,3,4$ の $4$ 個から $2$ 個を並べるので

$${}_4{\mathrm{P}}_2=4\times 3=12(\text{通り})$$

したがって

$$60-12=48(\text{通り})$$

本解と一致した。「ダメなものを数えて引く」ほうが、場合分けより楽なことが多い。

(2) 偶数も、引き算で出せる。 $3$ 桁の数は偶数か奇数のどちらかだから

$$(\text{偶数})=(\text{全部})-(\text{奇数})=48-(\text{奇数の個数})$$

奇数は一の位が $1$ か $3$ のとき。ここが $0$ でないので、百の位の制約が単純になる。

• 一の位: $1$ か $3$ の $2$ 通り
• 百の位: $0$ と、一の位で使った数を除くので $5-2=3$ 通り
• 十の位: 残り $3$ 通り

$$2\times 3\times 3=18(\text{通り})$$

よって偶数は

$$48-18=30(\text{個})$$

本解の場合分け($12+18=30$)と一致した。

なぜ奇数のほうが数えやすいのか。 奇数では一の位が $1$ か $3$ — $0$ が絡まないので、百の位の「$0$ 禁止」を一律に処理できる(場合分けが不要)。偶数だと一の位に $0$ が来るかどうかで百の位の候補数が変わるから、場合分けが要る。

教訓。「数えにくいほう」を直接攻めない。 反対側($=$ 余事象)が数えやすいなら、そちらを数えて引く。この発想は確率の「少なくとも $1$ つ $\dots$」の問題で、これから何度も効いてくる。

$2$ つのルートで同じ $30$ が出た — これが何よりの検算である。