和の法則・積の法則

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「たすのか、かけるのか」— 場合の数で最初にぶつかる分かれ道だ。見分け方は $1$ つ。

「$3$ つとも選ぶ(かつ)」ならかける。「どれか $1$ 品だけ(または)」ならたす。

(1)は前菜も主菜もデザートも選ぶ。前菜 $3$ 通りのそれぞれについて主菜が $4$ 通り、そのそれぞれについてデザートが $2$ 通り — 枝が枝分かれしていくのでかけ算。

(2)は主菜かデザート、どちらか一方だけ。$1$ 品しか選ばないのだから、選択肢は主菜の $4$ 種類とデザートの $2$ 種類を並べただけ。重なりもない($1$ つの料理が主菜でもデザートでもある、ということはない)。だからたし算。

「かつ」か「または」か — 問題文の日本語を読み直すのが、最初の一手である。

(1) 前菜の選び方は3通り。その1つ1つに対して主菜が4通りずつ、さらにその1つ1つに対してデザートが2通りずつある。続けて選んでいくので、数をかけていく。

$$3\times 4\times 2=24(\text{通り})$$

イメージとしては、前菜3本の枝がそれぞれ主菜4本に分かれ、さらにデザート2本に分かれる木を思い浮かべるとよい。枝の先の数がかけ算になる。

(2) 今度は1品だけ選ぶ。それが主菜のときとデザートのときは、同時には起きない(1品だけだから)。こういうときはたす。

$$4+2=6(\text{通り})$$

(1)でかけて(2)でたした違いは、「続けて選ぶ(かけ算)」か「どちらか一方だけ(たし算)」かの1点だけだ。問題文の「1品ずつ」と「どれか1品だけ」を読み分けよう。

発展 — 一歩先へ。 積の法則には、見落としやすい条件がある。「前菜を選んだ結果、主菜の選択肢が減る」ようなことが起きない、という前提だ。

もし「和風の前菜を選んだら、主菜は和食 $2$ 種類からしか選べない」というルールがあれば、単純な $3\times 4$ は使えない。場合分けして、それぞれで積の法則を使い、最後に足すことになる。

$$(\text{全体})=(\text{和風前菜のとき})+(\text{洋風前菜のとき})+\cdots$$

積の法則で数え、和の法則でつなぐ — 複雑な数え上げは、たいていこの組合せでできている。順列 ${}_n{\mathrm{P}}_r=n(n-1)\cdots$ も「$1$ 人選ぶごとに候補が $1$ 人減る」という変化する選択肢を積の法則で扱ったものだ。

大事なのは「$1$ 段目を決めたとき、$2$ 段目の選択肢は何通りか」を毎回きちんと問うこと。それが一定なら単純なかけ算、変わるなら場合分け。この問いを飛ばさないことが、数え上げの正確さを支えている。

別解

かけ算とたし算の違いを、絵で見て区別できるようにしよう。公式でなく形で覚えれば、迷わない。

積の法則は「長方形の面積」。

前菜を行、主菜を列にして表を作る。前菜 $3$ 種類 $\times$ 主菜 $4$ 種類 $=$ $3$ 行 $4$ 列の表ができ、マスは $12$ 個。マス $1$ つが「前菜と主菜の組合せ $1$ つ」だ。

$$3\times 4=12(\text{通り})$$

さらにデザートが $2$ 種類。$12$ 個のマスそれぞれが $2$ 階建てになると思えばいい($1$ 階がデザートA、$2$ 階がデザートB)。立体の箱で言えば $3\times 4\times 2$ のブロック。

$$3\times 4\times 2=24(\text{通り})$$

選ぶものが増えるたびに、次元が $1$ つ増える — これが積の法則の絵だ。

和の法則は「箱を横に並べる」。

(2)では、選べる料理を書き出してみる。

• 主菜: ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$($4$ 個)
• デザート: ${\mathrm{D}}_1,{\mathrm{D}}_2$($2$ 個)

$1$ 品だけ選ぶのだから、この $6$ 個の中から $1$ つ指さすだけ。

$$4+2=6(\text{通り})$$

表のマスにはならず、$1$ 列に並ぶ。 掛け算になる余地がない。

見分けの合言葉。

• かけ算: 選択が続く(前菜を選んだ、その上で主菜も選ぶ)。「$\dots$ して、さらに $\dots$」
• たし算: 選択肢が並ぶ(主菜から選ぶか、デザートから選ぶか)。「$\dots$ か、または $\dots$」

なお和の法則には重要な前提がある。$2$ つのグループに同じものが入っていない(重なりがない)ことだ。もし「主菜にもデザートにもなる一品」があったなら、単純に足すと二重に数えてしまう — そのときは重なりを引く(それが個数定理だ)。和の法則と個数定理は、地続きの話である。