円卓に男女が交互に座る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交互に座る問題は、「まず一方だけを円に並べ、そのすき間にもう一方を入れる」と考えるとうまくいく。

先に男子3人を円に座らせる。円順列で $(3-1)!=2$ 通り。

男子と男子の間に3つのすき間ができる。ここは女子専用の席だ。女子3人の入れ方は $3!=6$ 通り(こちらは円順列にしない。男子で位置の基準がもう決まっているからだ)。掛けて $12$ 通り。

手順1: 男子を円に座らせる

先に男子3人だけを円に座らせる。円順列なので $(3-1)!=2!=2$ 通り。

手順2: すき間に女子を入れる

男子が座ると、男子と男子の間にちょうど3つのすき間ができる。男女を交互にするには、この3つのすき間に女子を1人ずつ入れればよい。女子3人をこの3か所に並べる方法は $3!=6$ 通り。

手順3: かけ合わせる

$$(3-1)!\times 3!=2\times 6=12(\text{通り})$$

まとめ:ポイントは、円順列で基準を消すのは最初に置く男子だけにすること。女子は、すでに位置の決まった男子のすき間に入るので、女子側はふつうの順列 $3!$ でよい(回転を割らない)。両方を円順列にすると、割り過ぎてしまう。

発展 — 一歩先へ。 「先に一方を配置して、すき間に入れる」型は、円卓に限らない。1列で「どの2人も隣り合わない」条件でも、まず片方を並べてすき間を数える同じ手が効く。

「基準を固定して自由度を殺す」という別解の発想は、回転対称・平行移動対称のあるあらゆる数え上げの常套手段だ。何を固定すれば重複が消えるか、を考える癖をつけたい。

別解

円順列の公式を使わず、「1人を固定する」やり方でも解ける。回転のダブりを、最初から発生させない方法だ。

回転して同じものは同じ座り方。ならば、男子Aの席を1つ決め打ちして動かさないことにする。これで回転の自由度が消える。

Aから見て、残りの男子2人の席(交互だから男子席は決まっている)への座り方は $2!$ 通り。

女子3人は、3つのすき間へ $3!$ 通り。

$$2!\times 3!=2\times 6=12(\text{通り})$$

円順列の $(n-1)!$ という公式は、実はこの「1人固定で残り $(n-1)$ 人を並べる」の言い換えだ。公式を忘れても、固定の発想さえあれば現場で組み立てられる。