数学A / 場合の数

0を含む数字で作る整数(倍数・偶奇)

★★ 標準順列整数を作る

問題

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個を使って、4桁の整数を作る。

(1) 全部で何個できるか。

(2) 5の倍数は何個できるか。

(3) 奇数は何個できるか。

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(2) $5$ の倍数は一の位が $0$ か $5$ — 一の位が $0$ か $5$ かで先頭に $0$ が使えるかが変わるので分ける。(3)奇数は一の位が奇数(どれも $0$ でない)ので先頭の扱いは共通。

解答・解説

0が混じった数字の問題では、いつも2つのことが絡む。「先頭に0は置けない」ことと、「倍数・偶奇の条件は末尾(一の位)につく」ことだ。

(2)5の倍数は末尾が0か5、(3)奇数は末尾が1・3・5。

ここで、末尾に0を使うか使わないかで、先頭に0の制限が効くかどうかが変わる。だから末尾で場合分けするのがコツだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $0$ が混じった数字の問題では、いつも2つのことが絡む。「先頭に $0$ は置けない」ことと、「倍数・偶奇の条件は一の位につく」ことだ。

制約の強い桁から埋めるのが鉄則になる。(1)は先頭(千の位)から。(2)(3)は一の位から。

(2)の $5$ の倍数は一の位が $0$ か $5$ 。ここで $0$ と $5$ では千の位の事情が変わる( $0$ を使い切れば千の位の心配が1つ消える)ので、場合を分けて数える。

(1) 千の位は0以外の5通り。残る百・十・一の位には、まだ使っていない5個(0を含む)から3個を並べるので $_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。かけ算して

$5 \times 60 = 300 (個)$

(2) 5の倍数は一の位が0か5。一の位に0を使うかどうかで先頭の事情が変わるので分ける。

一の位が0のとき: 千・百・十の位に残り5個から3個を並べる。0は一の位に出ているので、先頭の制限を気にせず $_{5} P_{3} = 60$ 個。

一の位が5のとき: 千の位は0と5を除いた4通り、百・十の位は残り4個から2個で $_{4} P_{2} = 12$ 通り。 $4 \times 12 = 48$ 個。

たして $60 + 48 = 108$ 個。

(3) 奇数は一の位が1, 3, 5 のどれか(3通り、どれも0でない)。一の位を決めると、千の位は「0とその一の位の数を除く4通り」、百・十の位は残り4個から2個で $_{4} P_{2} = 12$ 通り。

$3 \times (4 \times 12) = 3 \times 48 = 144 (個)$

まとめ:(2)と(3)の分かれ目は、末尾に0が来るかどうか。0は「先頭に置けない」という特別扱いがあるので、0が末尾に回るときだけ先頭の選択肢が1つ多くなる。この差を場合分けで吸収するのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 $0$ は「先頭に置けない」制約と「 $5$ の倍数・偶数を作りやすい」利点の、二重の顔を持つ。場合分けの境目はいつも $0$ の扱いから生まれる。

「制約の強いところから埋める」原則は、隣り合わない配置や役職つきの選び方でも同じように効く。どの選択が他の選択の自由度を奪うかを見抜いて、その順に決めていくのが数え上げの設計術だ。

答

(1) 300個 (2) 108個 (3) 144個

(1)は「引き算」でも数えられる。先頭の $0$ をいったん許してしまうのだ。

$0$ を許せば、6個の数字から4個並べるだけで $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

このうち先頭が $0$ のものは、残り3桁に5個の数字から3個並べて $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

引いて $360 - 60 = 300$ 個。直接数える方法(先頭5通り × 残り $5 \times 4 \times 3$ )と一致する。

さらに、この問題には強力な検算がある。(3)の奇数 $144$ 個と、偶数(一の位 $0, 2, 4$ )を別に数えた $156$ 個を足すと $300$ 個。全体とぴったり合う。「分類の合計=全体」の照合は、桁の数え上げでいちばん頼れる安全網だ。