順列 nPr

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 委員長・副委員長・書記は役が違う。$\mathrm{A}$ が委員長で $\mathrm{B}$ が副委員長、と、$\mathrm{B}$ が委員長で $\mathrm{A}$ が副委員長は、別物だ。

役の区別があるなら順列である。

席を $3$ つ並べて、左から埋めていくと考えよう。

• 委員長: $7$ 人の誰でもよい → $7$ 通り
• 副委員長: 委員長になった人は使えない → 残り $6$ 通り
• 書記: さらに $1$ 人減って → $5$ 通り

$$7\times 6\times 5=210$$

選ぶたびに候補が $1$ 人ずつ減る — これが順列の顔だ。掛ける個数は「選ぶ人数」と同じ $3$ 個。$4$ 個掛けたり、$2$ 個で止めたりしないこと。

3つの役は区別されるので、これは7人から3人を選んで並べる順列だ。記号では ${}_7{\mathrm{P}}_3$ と書く。

順に埋めていこう。委員長は7人の誰でもよいので7通り。委員長が決まると、副委員長はもう選べないその人を除いた残り6人から選ぶので6通り。さらに書記は残り5人から5通り。続けて選ぶのでかけ算して

$${}_7{\mathrm{P}}_3=7\times 6\times 5=210(\text{通り})$$

まとめ:かける数が $7,6,5$ と1ずつ減るのは、1人選ぶごとに残りが1人ずつ減るからだ。「役は3つだから、かける数は3個」と本数を意識すると、$7\times 6$ で止めたり、$\times 4$ まで余分にかけたりするミスを防げる。

発展 — 一歩先へ。 順列の公式は、階乗を使うとこう書ける。

$${}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

$7\times 6\times 5$ は $\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!}}$ — 使わない下のほうを、割り算で消しているわけだ。

この形にすると、$r=n$ のとき $\frac{n!}{0!}$ となる。$7$ 人全員を並べるのは $7!$ 通りのはずだから、$0!=1$ と決めておくと辻褄が合う。$0!=1$ は「そう決めると公式が全部きれいに動くから」という理由で定められている — 数学ではしばしば、こうした「定義の後付け」で体系が整えられる($a^0=1$ も同じ精神だ)。

なお ${}_n{\mathrm{P}}_r$ の $\mathrm{P}$ は「並べる」を表す言葉の頭文字、${}_n{\mathrm{C}}_r$ の $\mathrm{C}$ は「選ぶ」を表す言葉の頭文字である。記号の意味を知っておくと、どちらを使うか迷ったときの手がかりになる。

別解

「選ぶ」と「並べる」を、$2$ 段階に分けて数えるとどうなるか。この見方が、次に習う組合せへの橋になる。

手順1: まず、役を気にせず $3$ 人選ぶ。

$7$ 人から $3$ 人を選ぶ選び方は ${}_7{\mathrm{C}}_3$ 通りだ。

$${}_7{\mathrm{C}}_3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35(\text{通り})$$

手順2: 選ばれた $3$ 人に、役を割りふる。

たとえば $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の $3$ 人が選ばれたとしよう。この $3$ 人に委員長・副委員長・書記を配る方法は、$3$ 人の並べ方と同じで

$$3!=3\times 2\times 1=6(\text{通り})$$

($\mathrm{A}$ が委員長・$\mathrm{B}$ が副・$\mathrm{C}$ が書記、$\mathrm{A}$ が委員長・$\mathrm{C}$ が副・$\mathrm{B}$ が書記、$\dots$ と $6$ 通り。)

手順3: 掛ける。

$$35\times 6=210(\text{通り})$$

本解と同じ答えだ。

この $2$ 段階が、そのまま公式の意味になっている。

$${}_7{\mathrm{P}}_3={}_7{\mathrm{C}}_3\times 3!$$

順列 $=$ 組合せ $\times$ 並べ替え。 言いかえれば

$${}_7{\mathrm{C}}_3=\frac{{}_7{\mathrm{P}}_3}{3!}$$

組合せ $=$ 順列を、並べ替えのぶんで割ったもの。 組合せの公式の分母に $3!$ が現れる理由が、これではっきりする — 同じ $3$ 人組を、順列では $6$ 回も数えているから、$6$ で割って $1$ 回にしているのだ。

使い分けの合言葉。

• 役・順番・場所の区別がある → 順列(並べる)
• 区別がなく、メンバーだけが問題 → 組合せ(選ぶ)

この問題を「掃除当番 $3$ 人を選ぶ」に変えれば、答えは $35$ 通り。同じ $7$ 人と $3$ という数字でも、区別の有無で答えが $6$ 倍違う — 問題文の「それぞれ $1$ 人ずつ」「役割の区別はない」という一言を、絶対に読み飛ばしてはいけない。