約数の個数・偶数の約数・総和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 すべては素因数分解 $540=2^2\times 3^3\times 5$ から始まる。

約数は $2^a\times 3^b\times 5^c$ の形で、指数 $a,b,c$ の選び方が約数を1つ決める。「約数を数える=指数の選び方を数える」という翻訳だ。

(2)の「偶数の約数」は、$2$ を1個以上ふくむ($a\ge 1$)という条件を指数の選び方に反映させる。総和は、各素数ごとの和の掛け算で一気に求まる。

素因数分解すると

$$540=2^2\times 3^3\times 5$$

約数は $2^a\times 3^b\times 5^c$($a=0,1,2$、$b=0,1,2,3$、$c=0,1$)の形で表せる。

(1) 各指数の選び方をかけ合わせて

$$(2+1)(3+1)(1+1)=3\times 4\times 2=24(\text{個})$$

(2) 偶数の約数とは、素数2を少なくとも1個もつもの、つまり $a=1$ または $2$(2通り)だ($a=0$ だと奇数になってしまう)。$b$ は4通り、$c$ は2通りのままなので

$$2\times 4\times 2=16(\text{個})$$

(ちなみに奇数の約数は $a=0$ に決めた $1\times 4\times 2=8$ 個で、$16+8=24$ と(1)に合う。)

(3) 総和は、各素数の和をかけ合わせる。

$$(1+2+4)(1+3+9+27)(1+5)=7\times 40\times 6=1680$$

まとめ:このかけ算を展開すると、$2^a{3}^b{5}^c$ の形の約数が1個ずつ全部、ちょうど1回ずつ出てくる。だから和が総和になる。

発展 — 一歩先へ。 「約数=指数の組合せ」という見方は、数学Aの整数の性質で最大公約数・最小公倍数の指数比較へと発展する。gcd は指数の小さい方、lcm は大きい方を取る、という統一的な景色になる。

「平方数の約数」「3の倍数の約数の総和」など、条件を指数の言葉に翻訳する変種はどれも今日の型の応用だ。条件→指数の範囲、と機械的に書き換えられれば全部解ける。

別解

(2)は補集合で数えるほうが速いこともある。

約数は偶数か奇数かのどちらかだ。奇数の約数とは $2$ を1個もふくまない($a=0$)もの、つまり $3^b\times 5^c$ の形。その個数は $(3+1)\times (1+1)=8$ 個。

だから偶数の約数は、全体から引いて $24-8=16$ 個。

「$a\ge 1$ を直接数える」(本解)と「$a=0$ を除く」(補集合)は、同じ切り分けの表と裏だ。

(3)の総和の式 $(1+2+4)(1+3+9+27)(1+5)$ にも、種明かしがある。この積を展開すると、$2^a{3}^b{5}^c$ の形の項が全部で $3\times 4\times 2=24$ 個、つまり全約数がちょうど1回ずつ現れる。「展開=全組合せの列挙」という積の構造そのものが、公式の正体だ。