集合の要素の個数(個数定理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 犬 $22$ 人と猫 $15$ 人を単純に足すと $37$ 人。しかしクラスは $40$ 人で、犬も猫も飼う $8$ 人はどちらにも入っている。

足すと、両方飼っている $8$ 人を $2$ 回数えてしまう。だから $1$ 回ぶん引く。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

これが個数定理だ。「足しすぎたぶんを引く」、それだけの話である。

(2)は「犬または猫」の反対だから、全体から引く。$40$ 人から $29$ 人を引いて $11$ 人。困ったらベン図を描いて、$4$ つの部屋の人数を書き込む — それが一番確実な道だ。

まず図をかいて、重なりの部分に「8人」と書き込もう。

(1) 犬または猫を飼っている人

「または」は、2つの輪を合わせた全体のことだ。

そのまま足すと $22+15=37$ 人。でも、これでは多すぎる。重なっている8人を、犬のほうでも猫のほうでも数えていて、2回分になっているからだ。だから8人を1回だけ引く。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=22+15-8=29(\text{人})$$

($A$ は犬を飼う人、$B$ は猫を飼う人。$n(A\cup B)$ は「どちらか一方でも飼っている人の数」を表す記号だと思えばよい。)

(2) どちらも飼っていない人

クラスは全部で40人。そのうち「犬か猫を飼っている人」が(1)で求めた29人だった。残りが「どちらも飼っていない人」になる。

$$40-n(A\cup B)=40-29=11(\text{人})$$

まとめ:最後に図で確かめよう。犬だけの人は $22-8=14$ 人、猫だけの人は $15-8=7$ 人、両方が8人、どちらも飼わない人が11人。全部足すと $14+7+8+11=40$ 人。ちゃんと40人になった。合っている。

発展 — 一歩先へ。 集合が $3$ つになると、公式はこうなる。

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$

足す → 引く → また足すと符号が交互に入れかわる。これを包除原理という。

理由はベン図の真ん中の部屋を追えば分かる。$3$ つ全部に属する人は、最初の $3$ 項で $3$ 回数えられ、次の $3$ 項で $3$ 回引かれて $0$ 回になってしまう。だから最後に $1$ 回足し戻す — 数えすぎと引きすぎを、交互に修正していくわけだ。

この「足しては引く」という発想は、確率(少なくとも $1$ つ起こる確率)や整数(倍数の個数の数え上げ)でも主役になる。数え上げの土台にある原理であり、$n$ 個の集合まで一般化される。$2$ つの場合の $-n(A\cap B)$ は、その最初の一歩なのだ。

別解

公式を使わず、$4$ つの部屋の人数を全部埋めるやり方を身につけよう。ベン図を描くと、クラスは必ず次の $4$ 種類に分かれる。

• 犬だけ飼っている人
• 猫だけ飼っている人
• 両方飼っている人
• どちらも飼っていない人

両方から埋めるのがコツ。 分かっているのは「両方 $=$ $8$ 人」。ここが交わりだ。

犬だけは、犬 $22$ 人から両方の $8$ 人を除いて

$$22-8=14(\text{人})$$

猫だけは、猫 $15$ 人から両方の $8$ 人を除いて

$$15-8=7(\text{人})$$

ここまでで、何かを飼っている人は $14+8+7=29$ 人。これが(1)の答えである。

残りのどちらも飼っていない人は

$$40-29=11(\text{人})$$

これが(2)の答え。 $4$ つの部屋は $14,7,8,11$ で、合計は $14+7+8+11=40$ — クラスの人数とぴったり合う。この検算ができるのが、この方法の強みだ。

表にすると、さらに見通しがよい。

縦・横のどの合計も、ちゃんと辻褄が合う。 $2\times 2$ のマスのうち $1$ つと、周りの合計が分かれば、残りは引き算だけで全部決まるのだ。

この表は分割表と呼ばれ、アンケート集計の現場でそのまま使われている。公式 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ は、この表の「$8$ を二重に数えた」という事実を式にしただけ。式を忘れても、表を描けば必ず解ける。