数学A / 場合の数

同じ文字を含む語の並べ替え

★★ 標準同じものを含む順列

問題

「TOMATO」の6文字をすべて1列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りか。

(2) 両端がともに O である並べ方は何通りか。

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$T$ が2個、 $O$ が2個あるのがポイント。(1)は全体を、同じ文字の重複で割る。(2)は両端に $O$ を固定して、残り4文字の並べ方を数える(残りにも同じ文字がないか確認)。

解答・解説

TOMATO には同じ文字が混じっている。T が2個、O が2個、M と A が1個ずつだ。

だから、同じものを含む順列として、同じ文字の分で割る。

(2)のように「両端を◯にする」条件がついたら、まず両端を先に埋めてしまい、残りの文字だけで同じ計算をやり直す。これが条件つきの並べ替えのコツだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 TOMATO には同じ文字が混じっている。T が2個、O が2個、M と A が1個ずつだ。

同じ文字どうしは入れ替えても見た目が変わらない。だから $6!$ では数えすぎで、同じ文字の並べ替えの分( $2!$ と $2!$ )で割る。

(2)のように「両端は O」と条件がついたら、まず両端を先に埋めてしまう。残り4文字だけの世界で、同じ計算をやり直せばよい。

公式同じものを含む順列

\frac{n !}{p ! q ! \dots}

TOMATO の文字を数えると、T が2個、O が2個、M が1個、A が1個ある。

T が2つ・O が2つがダブり:6! ÷ (2! × 2!)

(1) 6文字のうち、T どうし・O どうしは入れ替えても同じ並びになる。だからそのダブりで割る。

$\frac{6 !}{2 ! \times 2 !} = \frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180 (通り)$

(2) 両端をともに O にすると決めると、2個ある O は両端で使い切る。残るのは、真ん中の4か所に並べる T, T, M, A だ。この4文字は T が2個なので

$\frac{4 !}{2 !} = \frac{24}{2} = 12 (通り)$

まとめ:両端の O は同じ文字なので、左端と右端を入れ替えても同じ。だから2倍する必要はない。条件つきの並べ替えは、「決まっている部分を先に埋めて、残りで同じものを含む順列をやり直す」と手順が決まる。

発展 — 一歩先へ。 別解の「場所選びの積」の形は、次の最短経路の問題とぴったり同じだ。右4回・上3回の道順は「7手のうち右の3か所を選ぶ」で数える。文字の並べ替えと道順が、同じ1つの式で書ける。

道具は「同じものを含む順列=場所選びの組合せの積」という1本。見た目の違う問題たちの共通構造を見抜けると、この単元の景色が一気に整理される。

答

(1) 180通り (2) 12通り

割り算を使わず、「場所を選ぶ」掛け算だけで数える方法もある。

6つの置き場所を用意して、文字の種類ごとに場所を選んでいく。

$15 \times 6 \times 2 = 180 (通り)$

割り算ルートと同じ答えになる。同じ文字は「区別せず場所だけ選ぶ」から、最初からダブりが生まれない仕組みだ。

「 $6!$ を割って直す」か「場所選びでダブりを作らない」か。2つの道の一致は、同じもの順列の公式の意味そのものである。