円周上の点を結ぶ弦の交点の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の交点を $1$ つずつ数えるのは無理。交点と何かを $1$ 対 $1$ に対応させる。

円の内部の交点 $1$ つは、それを作る $2$ 本の弦で決まる。その $2$ 本の弦の端点は、円周上の $4$ 点。逆に、円周上の $4$ 点を選ぶと、それらを頂点とする凸四角形の対角線がちょうど $1$ 点で交わる。

だから「交点」と「円周上の $4$ 点の組」がぴったり $1$ 対 $1$。交点の個数 $=$「$10$ 点から $4$ 点を選ぶ」$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210$。

① 対応を確認する。 円周上の $4$ 点を選ぶと、それらを頂点とする四角形ができ、その $2$ 本の対角線が円の内部でちょうど $1$ 点で交わる。逆に、内部の交点はどれも $2$ 本の弦の交わりで、$4$ 個の端点を持つ。

② 組合せで数える。 どの $3$ 本の弦も同じ点で交わらないので、交点はすべて別々。よって交点の個数は「$10$ 点から $4$ 点を選ぶ」組合せに等しい:

$${}_{10}{\mathrm{C}}_4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210\text{個}$$

まとめ:交点を「$4$ 点の選び方」に翻訳するのがこの問題の核心。ごちゃごちゃした弦の交わりを直接数えず、$1$ 対 $1$ 対応で ${}_{10}{\mathrm{C}}_4$ という組合せに帰着させる。「どの $3$ 弦も $1$ 点で交わらない」の条件は、交点がダブらない(=最大になる)ことを保証している。

発展 — 一歩先へ。 円周上 $n$ 点の弦の交点数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)$(一般の位置で)。同じ $n$ 点で、弦が円を分ける領域の数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+1$(オイラーの公式から)。$4$ 点から $1$ 交点、という対応が、これらの数え上げの共通の核。組合せ論では「何と何が $1$ 対 $1$ に対応するか」を見抜くのが最強の武器だ。

別解

別解 — 対角線の交点として凸多角形で数える(視覚で納得するルート)。 円周上の $10$ 点を頂点とする凸 $10$ 角形を考える。弦はすべて、この $10$ 角形の辺または対角線だ。内部の交点は「対角線どうしの交点」に他ならない。

凸多角形で「$2$ 本の対角線が内部で交わる」$⟺$「その $4$ つの端点が凸四角形をなす」。逆に、任意の $4$ 頂点を選ぶと、それらを頂点とする凸四角形の $2$ 本の対角線がちょうど $1$ 点で交わる。

だから交点と「$4$ 頂点の組」が $1$ 対 $1$。

$$(\text{交点数})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210.$$

弦の交点を弦のペアで数える本解と同じだが、「凸四角形の対角線交点」と読むと、$4$ 点を選べば交点が $1$ つ確定する対応が図で見える。「どの $3$ 本の弦も $1$ 点で交わらない」という条件は、この $1$ 対 $1$ 対応を保証するためのもの($3$ 本が $1$ 点で交わると $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=3$ 個の交点が $1$ 個に潰れてしまう)。