同じ色を2個ずつ含む円順列

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 区別できる6個なら、円順列は $(6-1)!$ で済む。だが同じ色を含むと、「1つ固定」も「6で割る」も崩れる。

なぜ崩れるかを正面から考える。一列の並べ方(90通り)を、回転で移り合うもの同士の束にまとめる。ふつうの並びは、回転6通りが全部違うから束の大きさが6。ところが「赤白青赤白青」のように、途中の回転で自分に一致する並びは、束が6より小さい。

束の大きさで割るのだから、大きさの違う束を分けて数えればよい。

① 一列の並べ方。 同じものを含む順列で

$$\frac{6!}{2!2!2!}=90\text{通り}$$

② 回転で自分に一致する並びを探す。 6個の円で、$k$ 個ずらす回転で自分に一致する並びは「周期 $k$ の繰り返し」の形に限られる($k$ は6の約数)。

• 周期1(全部同色): 各色2個ずつなので不可能
• 周期2(2個の繰り返し3回): 各色が3個ずつ必要になり、2個ずつの条件に反して不可能
• 周期3(3個の繰り返し2回): 3個のブロックに赤白青が1個ずつ入ればよく、$3!=6$ 通り

③ 束の大きさごとに数える。 周期3の並び6個は、回転で3通りにしか見えないので束の大きさが3。束は $6÷3=2$ 個だ。残りの $90-6=84$ 個は、どの回転でも自分に一致せず束の大きさが6。束は $84÷6=14$ 個。よって

$$14+2=16\text{通り}$$

まとめ: 「割る前に、割り切れない仲間(対称な並び)を仕分ける」のが急所。一律に6で割ると $90÷6=15$ となり、正解16と1つずれる。そのずれの正体が、周期3の並びの束(大きさ3)だ。

発展 — 一歩先へ。 裏返しも同じとみなす(じゅず順列)と、答えは11通りまで減る。回転だけの16通りのうち、鏡に映すと別の並びになるものが対で束ねられるからだ。「どの操作まで同一視するか」で答えが変わる。この感覚が、次の別解の見方につながる。

別解

回転ごとの「動かない並び」を平均する(得意な人向け)。 場合分けの代わりに、次の魔法のような勘定がある。

6つの回転(0個ずらしから5個ずらしまで)それぞれについて、「その回転で自分自身に一致する並び」の個数を数える:

• 0個ずらし(何もしない): すべての並びが一致。90個
• 1個・5個ずらし: 周期1が必要で0個
• 2個・4個ずらし: 周期2が必要で0個
• 3個ずらし: 周期3の並びで6個

合計 $90+0+0+6+0+0=96$。これを回転の個数6で割ると

$$\frac{96}{6}=16\text{通り}$$

本解の答えと一致する。実は「円順列の数 = 各回転で動かない並びの数の平均」という一般法則(バーンサイドの補題)が背後にあり、どんな対称性でも通用する。場合分けが複雑になるほど、この平均の勘定が威力を増す。