男女が交互でない円順列(隣り合わない配置)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「女子どうしが隣り合わない」は、女子を直接並べると条件が扱いにくい。先に男子を並べ、その隙間に女子を入れるのが定石だ。

まず男子 $4$ 人を円形に並べる。円順列だから $(4-1)!=6$ 通り。

男子 $4$ 人の間には $4$ つの隙間ができる。ここに女子 $4$ 人を $1$ 人ずつ入れれば、女子は必ず男子にはさまれて隣り合わない。入れ方は $4!=24$ 通り。積で $6\times 24=144$。

① 男子を円形に並べる。 男子 $4$ 人の円順列は $(4-1)!=3!=6$ 通り。

② 隙間に女子を入れる。 男子 $4$ 人を円形に並べると、隣り合う男子の間に隙間が $4$ つできる。この $4$ か所に女子 $4$ 人を $1$ 人ずつ入れれば、女子はどの $2$ 人も隣り合わない。入れ方は $4!=24$ 通り。

③ 積をとる。

$$6\times 24=144\text{通り}$$

まとめ:「隣り合わない」円順列は「片方を円形に並べる → 隙間に入れる」の $2$ 段。円順列で先に並べるほうは $(n-1)!$、隙間の数はちょうど並べた人数と同じ($4$ 人なら $4$ 隙間)になるのがポイント。人数が同じ($4$ と $4$)なので隙間がぴったり埋まる。

発展 — 一歩先へ。 男子 $m$ 人・女子 $f$ 人($f\le m$)の円卓で女子が隣り合わない場合の数は $(m-1)!\times {}_m{\mathrm{P}}_f$。男子の隙間 $m$ か所から $f$ か所を選んで女子を並べる。$m=f$ のときは女子が全隙間を埋め、男女交互になる。「隙間に入れる」発想は、隣接禁止の配置問題の万能テクニックだ。

別解

別解 — 女子を「$1$ 人だけ固定」して回転を消す(別の視点)。 円順列を「$1$ 人を固定して残りを直線的に並べる」方法で数え直す。

女子の $1$ 人 W₁ を上席に固定する(これで回転の重複が消える)。残りの $7$ 席に、男子 $4$ 人と女子 $3$ 人を並べる。

W₁ の両隣は男子でなければならない(女子隣り合わせ禁止)。両隣の男子を選んで並べ、残りを配置する…と数えると煩雑になるので、本解の「男子を円に並べ隙間に女子」の方が速い。ただし固定の考え方は同じで、$\frac{8!\text{相当}}{\text{回転}}$ を条件付きで数えることに変わりはない。

検算として、条件なしの男女 $8$ 人の円順列は $(8-1)!=5040$ 通り。そのうち女子が隣り合わない $144$ 通りは約 $2.9\%$。「男女交互(女子が完全に離れる最も厳しい配置)」は $(4-1)!\times 4!=144$ でこれと一致する — 女子 $4$・男子 $4$ で女子が隣り合わないのは、実は男女交互しかないからだ。