数学A / 場合の数

じゅず順列

★★ 標準じゅず順列円順列

問題

色の異なる6個の玉を糸に通して輪にし、首飾りを作る。作り方は全部で何通りあるか。回転や裏返しで一致するものは同じ首飾りとみなす。

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首飾りは回しても裏返しても同じ。まず円順列を求め、次に『裏返して重なるぶん』を1つにまとめるため、もう一度割る。

解答・解説

首飾りは、円順列(円に並べる)の仲間だ。でも、もう1つ気をつけることがある。首飾りは裏返せることだ。

円順列では「回転して同じ」を1つと数えた。首飾りはそれに加えて、裏返して同じになるものも1つと数える。たとえば左回りに読んだ並びと右回りに読んだ並びは、首飾りとしては同じものになる。

だから、まず円順列で数え、そのあと裏返しの分でちょうど半分に割る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 首飾りは円順列の仲間だ。ただし、もう1つ自由がある。首飾りは裏返せる。

円順列では「回転して同じ」を1つと数えた。首飾りはさらに「裏返して同じ」も1つと数える。

だから、まず円順列 $(6 - 1)! = 120$ で数え、裏返しのペアで半分に割る。 $120 \div 2 = 60$ 通りだ。

6個の異なる玉をつないだ首飾り(回転・裏返しで同一視)

公式数珠(じゅず)順列:円順列を裏返しで割る

\frac{( n - 1 )!}{2}

まず、回転して同じものを1つと数える円順列として計算すると $(6 - 1)! = 5! = 120$ 通り。

次に裏返しを考える。首飾りはひっくり返せるので、ある並びと、それを裏返した並び(左右をひっくり返したもの)は、糸の上では別でも首飾りとしては同じだ。だから、並びは2つずつペアになって同じ首飾りを表す。そのぶん2で割る。

$\frac{( 6 - 1 )!}{2} = \frac{120}{2} = 60 (通り)$

まとめ:円順列との違いは「 $\div 2$ 」の一手だけだ。ただ円に並ぶだけなら回転だけを消して円順列、輪にして裏返せるなら首飾り(じゅず順列)としてさらに半分、と区別しよう。

発展 — 一歩先へ。 「見た目が同じものの倍率で割る」のは、同一視の数え上げの基本思想だ。1列の順列という数えやすい世界で数えておいて、同一視の倍率で割って戻ってくる。

別解の注意書きどおり、同じ色の玉が混ざると倍率が一定でなくなり、割り算だけでは処理できない。そのときはもっと精密な数え方が必要になる(発展的な問題で登場する)。「割れる条件」を意識できれば、この単元の理解は一段深い。

答

60通り

まとめて1回で割る見方もある。「同じ首飾りに見える並べ方が何通りずつあるか」を数えるのだ。

6個の玉を1列に並べる方法は $6! = 720$ 通り。これを輪にしたとき、1つの首飾りは何通りの並べ方から生まれるか。

回転で $6$ 通り、それぞれに裏返しで $2$ 通り。つまり1つの首飾りにつき $6 \times 2 = 12$ 通りの並べ方が対応する。

$\frac{720}{12} = 60 (通り)$

「ダブりの倍率で割る」という1本の原理に、円順列の $\div 6$ とじゅずの $\div 2$ が同時に収まっている。ただしこの割り算は、どの首飾りもきっかり $12$ 通りずつに対応する(玉が全部異なる)から使える。同じ色の玉が混ざると対応数が乱れて、単純には割れなくなる。