数学A / 場合の数

樹形図・辞書式にすべて書き上げる

★ 基礎数え上げ樹形図

問題

100円硬貨、10円硬貨、5円硬貨を1枚ずつ、同時に投げる。表と裏の出方は全部で何通りあるか。すべて書き上げて求めよ。

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3枚それぞれに表・裏の2通り。 $100$ 円→ $10$ 円→ $5$ 円の順に、『表・表・表』から規則正しく枝分かれさせて、もれ・だぶりなく書き上げよう。

解答・解説

「全部で何通り」を数えるとき、思いついた順にバラバラに書き出すと、必ず数え落としや同じものの重複が起きる。

そうならないコツは、順番を決めて機械的に並べることだ。ここでは硬貨を「100円→10円→5円」の順に見て、それぞれ表か裏かを、決まった順で書き出していく。この「順番どおりに全部書く」やり方が樹形図の考え方だ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべて書き上げよ」と言われている。数え上げの出発点は、もれなく・重なりなく並べることだ。

そのためには順番のルールを決めて機械的に書く。硬貨の順番を「 $100$ 円 → $10$ 円 → $5$ 円」と固定し、表を先・裏を後にして、辞書のように並べていく。

$表表表, 表表裏, 表裏表, 表裏裏, 裏表表, \dots$

思いつくままに書くと、必ずどこかでもれるか、ダブる。「決めた順に書く」だけで、数え上げは正確になる。

樹形図を描けば、枝が $2 \to 4 \to 8$ と広がる様子が目に見える。 $8$ 通りという答えの「かたち」まで分かるはずだ。

硬貨を100円→10円→5円の順に見て、表を「オ」、裏を「ウ」と書くことにする。100円が表の場合を先に全部、次に裏の場合を全部、という順で並べると

$(オ, オ, オ), (オ, オ, ウ), (オ, ウ, オ), (オ, ウ, ウ),$

$(ウ, オ, オ), (ウ, オ, ウ), (ウ, ウ, オ), (ウ, ウ, ウ)$

の8通りだ。

なぜ数え落としがないと言えるかというと、「100円が表」の場合で前半4つ、「100円が裏」の場合で後半4つ、と場合をきちんと分けて並べたからだ。

各硬貨が表・裏の2通りに枝分かれ → 2×2×2=8通り(葉が8つ)

まとめ:慣れてくれば、各硬貨が2通りずつだから $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り、と計算でも出せる。でも最初のうちは、こうして自分の手で全部書き出して「たしかに8通りだ」と目で確かめるのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 表の枚数ごとの内訳 $1, 3, 3, 1$ を足すと $8 = 2^{3}$ になった。これは偶然ではない。

$k = 0 \sum n_{n} C_{k} = 2^{n}$

「 $n$ 個から何個か選ぶ選び方を全部足すと $2^{n}$ 」 — 左辺は「選ぶ個数で分類して数えた」、右辺は「各要素について入れる・入れないの $2$ 択が $n$ 回」と数えた。同じものを $2$ 通りに数えたから等号が成り立つ。

この「 $1$ つのものを $2$ 通りに数えて等式を作る」という手口は二重数え上げと呼ばれ、組合せ論の最も強力な証明法である。二項定理 $(1 + 1)^{n} = \sum_{n} C_{k}$ からも同じ式が出る。

$3$ 枚の硬貨という素朴な設定が、 $n$ 枚に一般化した途端に深い等式を生む — 具体例を丁寧に観察することが、一般法則への入口なのだ。

答

8通り

書き上げた $8$ 通りを、別の目で読み直す。ここに、これから学ぶ「場合の数」のほとんどの種が入っている。

見方1: かけ算で出す(積の法則)。

$100$ 円硬貨の出方は $2$ 通り。そのそれぞれについて $10$ 円硬貨が $2$ 通り。さらにそのそれぞれについて $5$ 円硬貨が $2$ 通り。

$2 \times 2 \times 2 = 8 (通り)$

樹形図の枝の本数が、そのままかけ算になっている。「 $3$ 枚あるから $3$ 倍」ではなく「 $2$ 通りが $3$ 回」だから $2^{3}$ — ここを取り違えないこと。

見方2: $2$ 進数として読む。 表を $1$ 、裏を $0$ と書くと、 $8$ 通りはこうなる。

$000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111$

これは $0$ から $7$ までの数を $2$ 進法で書いたものだ。 $3$ 桁の $2$ 進数は $2^{3} = 8$ 個。硬貨の表裏を数えることと、コンピュータが $3$ ビットで数を表すことは、まったく同じ数え上げなのである。

見方3: 「表が何枚か」で分類する。 $8$ 通りを、表の枚数ごとに数える。

表の枚数	$0$ 枚	$1$ 枚	$2$ 枚	$3$ 枚
通り数	$1$	$3$	$3$	$1$

合計は $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ ✓。

この $1, 3, 3, 1$ という並びに見覚えはないだろうか。パスカルの三角形の $3$ 段目だ。「 $3$ 枚のうち表になる $2$ 枚を選ぶ」から $3$ 通り — 後で学ぶ組合せ $_{3} C_{2} = 3$ そのものである。

同じ $8$ を、 $3$ つの目で見た。 積の法則、重複順列( $2^{3}$ )、組合せの和 — 書き上げた $8$ 通りの中に、単元全体の設計図が入っている。数え上げに詰まったら、いつでも「全部書き出す」に戻ってよい。公式は、その作業を速くするための道具にすぎない。