9人を3人ずつ3組に分ける

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これは、基本の「$6$ 人を $2$ 人ずつ」の拡大版だ。

構造は同じ。まず区別ありで数え、そのあと区別のない同じ人数の組の並べ替え $3!$ で割る。

人数が増えても、割る理由は変わらない。同じ分け方が $3!$ 回だぶって数えられるからだ。原理から自分で再現できるかを問う問題だ。

(1) 名前のついた組 A, B, C に、順に人を選んで入れる。

$${}_9{\mathrm{C}}_3\times {}_6{\mathrm{C}}_3\times {}_3{\mathrm{C}}_3=84\times 20\times 1=1680(\text{通り})$$

(2) 組に名前がない場合を考える。(1)では、同じ3人組の集まりでも「どれを A・B・C と呼ぶか」で $3!=6$ 通りを別々に数えている。組に名前がなければ、これらは全部同じ分け方なので、6で割る。

$$\frac{1680}{3!}=\frac{1680}{6}=280(\text{通り})$$

まとめ:3つの組がすべて同じ人数(3人)だからこそ、$3!$ 通りの呼び替えが全部ダブりになる。もし『4人・3人・2人』のように人数がすべて違えば、組の大きさで自然に区別がつくので割る必要はない。「同じ大きさの組が何個あるか」を見て、その個数の階乗で割る、と覚えておこう。

発展 — 一歩先へ。 同じ人数 $m$ の組を $n$ 個つくって $mn$ 人を分ける数は、一般に $\frac{(mn)!}{(m!{)}^{n}n!}$ だ。いまは $m=3,n=3$ で $\frac{9!}{(3!{)}^{3}3!}=280$ になる。

名前をつけた(区別する)組に分ける数は $\frac{(mn)!}{(m!{)}^n}$ で、これは名前なしの数のちょうど $n!$ 倍。名前の付け替え $n!$ 通りだけ多く数えているからだ。

この分数はいつも整数になる。実際に「分け方の個数」を数えているのだから、割り切れて当然だ。階乗の割り算が整数になる背景には、たいていこうした数え上げの意味がある。

別解

別解 — 「その組の代表」を決めて重複を出さずに数える(割り算のいらないルート)。 (2)の名前なしの組分けを、$3!$ で割らずに直接数える。

コツは、組を「いちばん若い番号の人」で見分けること。まず全体で最年少の $1$ 番を含む組をつくる。$1$ 番の相手 $2$ 人を残り $8$ 人から選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$ 通り。

次に、まだ組に入っていない人のうち最年少の人を含む組をつくる。相手 $2$ 人を残り $5$ 人から選んで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通り。

残った $3$ 人が最後の組で $1$ 通り。組はいつも「含まれる最年少の人」でひとりでに見分けられるので、重複は生じない。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 1=28\times 10=280.$$

区別ありで数えて $3!$ で割る本解と同じ $280$ 通り。代表を決める見方だと、そもそもだぶりが出ない。