立方体の6面を6色で塗り分ける

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転を考えなければ $6$ 面に $6$ 色で $6!=720$ 通り。だが立方体は回転で重なるものを同一視するので、重複を除く。

回転の重複を除くうまい方法は「$1$ つの面を固定する」。たとえば「ある色(赤)を上面に固定」と決めると、回転の自由度が減る。

赤を上に固定したら、底面の色は残り $5$ 通り。側面 $4$ 色は、上下軸まわりの回転(円順列)で $(4-1)!=6$ 通り。$5\times 6=30$。

① 上面の色を固定する。 ある特定の色(赤とする)を上面に来るように回転で合わせる。どの塗り方も回転すれば赤を上にできるので、これで上下方向の重複が消える。

② 底面の色を選ぶ。 残り $5$ 色から底面の色を選ぶ:$5$ 通り。

③ 側面 $4$ 色を並べる。 残り $4$ 色を $4$ つの側面に配置する。上下を軸にして回すとぐるぐる回るので、これは円順列:$(4-1)!=3!=6$ 通り。

④ 積をとる。

$$5\times 6=30\text{通り}$$

(確かめ:回転の重複を考えない $6!=720$ を、立方体の回転の総数 $24$ で割っても $720÷24=30$。)

まとめ:回転で同一視する塗り分けは「基準を固定して重複を封じる」。上面を固定すると側面が円順列になり、$5\times (4-1)!=30$。全体を回転数 $24$ で割る方法(すべての色が異なるので割り切れる)でも同じ答えになる。

発展 — 一歩先へ。 立方体の面の塗り分けは、回転群(位数 $24$)による対称性の数え上げ。色に重複があると、バーンサイドの補題(各回転で不変な塗り方を平均する)が本領を発揮する。たとえば $2$ 色で塗る場合は $10$ 通り、$3$ 色なら…と、群論が「見た目の対称性」を数える道具になる。

別解

別解 — バーンサイドの補題で回転群 $24$ で割る(得意な人向けの高い視点)。 立方体の回転は全部で $24$ 通り(面を上にする選び $6$ × その面の回転 $4$)。異なる $6$ 色で全面を塗るとき、回転で不変な塗り方は「恒等回転」以外にない(どの回転も少なくとも $2$ 面を入れ替えるが、$6$ 色すべて異なるので入れ替わると別物)。

バーンサイドの補題「異なる塗り方の数 $=\frac{1}{|G|}\sum (\text{各回転で不変な塗り方の数})$」を使う。不変なのは恒等回転のときの $6!=720$ 通りだけ、他の $23$ 個の回転では $0$。

$$\frac{720+0+\cdots +0}{24}=\frac{720}{24}=30.$$

$1$ 面固定で数える本解と同じ $30$ だが、バーンサイドは「回転で不変なものを数えて群の位数で割る」一般公式。色に重複がある場合(たとえば $6$ 面を $3$ 色で)には、各回転の寄与が $0$ でなくなり、本解の固定法より systematic に数えられる。