数学A / 場合の数

条件つきの組合せ(委員の選出)

★★ 標準組合せ

問題

男子6人、女子4人の合計10人の中から、4人の委員を選ぶ。

(1) 選び方は全部で何通りか。

(2) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方は何通りか。

(3) 特定の1人 A を必ず含む選び方は何通りか。

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委員に順番はないので組合せ。(2)は『男子から選ぶ』と『女子から選ぶ』を別々に数えてかける。(3)は $A$ を先に確定させ、残りの枠を残りの人から選ぶ。

解答・解説

組合せの応用は、条件を「グループごとに分けて選ぶ」か「先に確定させる」に置きかえるとうまくいく。

(2)は、男子から・女子からと別々に選んでかけ合わせる。(3)は、A を先に委員に入れてしまい、残りの席を残りの人から選ぶ、と考えると数がぐっと減って見やすくなる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 組合せの応用は、条件を「グループごとに分けて選ぶ」か「先に確定させる」に置きかえるとうまくいく。

(2)は、男子から2人・女子から2人と、別々に選んでかけ合わせる。

(3)は、A を先に委員に入れてしまう。残りの席は3つ、候補は残り9人。 $_{9} C_{3}$ で数がぐっと減って見やすくなる。

公式組合せ

_{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

(1) 10人から4人を選ぶ組合せなので

$_{10} C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 (通り)$

(2) 男子6人から2人を選び( $_{6} C_{2}$ )、それとは別に女子4人から2人を選ぶ( $_{4} C_{2}$ )。この2つは続けて選ぶのでかけ算して

$_{6} C_{2} \times_{4} C_{2} = 15 \times 6 = 90 (通り)$

(3) A を必ず含むので、A は先に委員に入れてしまう。すると、残り3つの席を A 以外の9人から選ぶ問題になる。

$_{9} C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 (通り)$

まとめ:「必ず含む」は先に入れて席と人数を減らす。「必ず除く」はその人を最初から候補から外す。どちらも、数える前に条件を消しておくのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 (3)に3本の道(先に確定・補集合・対称性)が通っていたように、数え上げの問題は複数ルートで答えを照合できるのが強みだ。1つの答えを2つの道で出す習慣は、最強の検算になる。

対称性ルートの等式 $_{9} C_{3} = \frac{4}{10}_{10} C_{4}$ は、組合せの公式どうしの関係式そのものでもある。数える対象を工夫して等式を作る「二重数え」は、応用問題の重要な技法だ。

答

(1) 210通り (2) 90通り (3) 84通り

(3)には、2つの別ルートがある。

1つ目は補集合。全体 $210$ 通りから「A を含まない」選び方(A 以外の9人から4人選ぶ $_{9} C_{4} = 126$ 通り)を引いて、 $210 - 126 = 84$ 通り。

2つ目は、対称性で「割合」から出す方法だ。10人の誰にとっても、立場は対等である。だから「自分が選ばれる選び方の数」は全員同じ。

一方、 $210$ 通りの選び方それぞれに4人ずつ委員がいるから、のべ人数は $210 \times 4$ 。これを10人で等分すれば、1人あたり

$\frac{210 \times 4}{10} = 84 (通り)$

「全員対等だから、のべを頭数で割る」。この対称性の見方は、あとで学ぶ期待値の計算や、二重に数えて等式を作る技法の入り口になっている。