0を含む数字で作る3桁の偶数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 偶数 $⟺$ 一の位が偶数($0,2,4$)。だが $0$ は百の位に置けないので、一の位が $0$ か $2,4$ かで制約が変わる。場合分けする。

【一の位が $0$】百の位・十の位は残り $\{1,2,3,4\}$ から $2$ 個で $4\times 3=12$ 通り($0$ の制約なし)。

【一の位が $2$ または $4$】($2$ 通り)。百の位は $0$ と一の位の目を除く $3$ 通り、十の位は残り $3$ 通り。$2\times 3\times 3=18$ 通り。合わせて $12+18=30$。

① 一の位が $0$ のとき。 一の位は $0$ に確定。残り $4$ 個($1,2,3,4$)から百の位・十の位を選ぶ。$0$ はもう使ったので先頭制約はなく、

$$4\times 3=12\text{個}$$

② 一の位が $2$ または $4$ のとき。 一の位の選び方は $2$ 通り。このとき百の位には $0$ と一の位の数字が使えないので、残り $3$ 個(=$\{0,1,2,3,4\}$ から一の位を除いた $4$ 個のうち $0$ を除く)から選ぶ:$3$ 通り。十の位は残り $3$ 個から $1$ つ($0$ も使える):$3$ 通り。よって

$$2\times 3\times 3=18\text{個}$$

③ 合計する。

$$12+18=30\text{個}$$

まとめ:「$0$ を含む数字で整数を作る」は、$0$ の特別扱い(先頭に置けない)で場合分け。一の位が $0$ なら先頭の制約が消え、一の位が $2,4$ なら先頭で $0$ を除く。$0$ をどこで消費するかを軸に分けると数え漏れがない。

発展 — 一歩先へ。 $0$ を含む数字で整数を作る問題は「最高位に $0$ を置けない」制約が要。$0$ を一の位に置くか否かで場合分けするのが定石。桁の制約(最高位 $\ne 0$、偶数なら末尾偶数、$3$ の倍数なら桁和が $3$ の倍数)を組み合わせると、様々な整数の個数え上げに発展する。

別解

別解 — 全体から奇数を引く(補集合のルート)。 $0\sim 4$ から異なる $3$ 個で作る $3$ 桁の整数の総数を出し、そこから奇数を引く。

$3$ 桁の整数の総数: 百の位は $0$ 以外で $4$ 通り、十の位は残り $4$ 通り、一の位は残り $3$ 通り。$4\times 4\times 3=48$ 個。

奇数($⟺$ 一の位が $1$ か $3$)を数える。一の位が奇数($2$ 通り)。百の位は $0$ と一の位を除く $3$ 通り、十の位は残り $3$ 通り。$2\times 3\times 3=18$ 個。

偶数 $=48-18=30$ 個。

一の位で場合分けする本解と同じ $30$ だが、「総数 $-$ 奇数」で攻めると、奇数の一の位($1,3$ で $0$ を含まない)は場合分けが $1$ 通りで済み、$0$ の制約が絡まない分すっきりする。$48$ 個中、偶数 $30$・奇数 $18$ の内訳も見える。