組分け(区別のある組・ない組)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 組分けでいちばん大事なのは「組に区別があるか」だ。

区別がある(A・B・C と名前がついている)なら、順に選んでいけばよい。

区別がない(ただ3つに分けるだけ)なら、同じ人数の組どうしを入れ替えても同じ分け方になる。まず区別ありで数え、同じ大きさの組の並べ替え($3!$)で割って区別を消す。この順で考えると間違えにくい。

(1) 名前のついた組 A, B, C に、順に人を選んで入れる。A に入る2人を6人から選び ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$、B に入る2人を残り4人から選び ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$、C は残り2人で ${}_2{\mathrm{C}}_2=1$。続けて選ぶのでかけ算して

$${}_6{\mathrm{C}}_2\times {}_4{\mathrm{C}}_2\times {}_2{\mathrm{C}}_2=15\times 6\times 1=90(\text{通り})$$

(2) 組に区別がない場合を考える。(1)で数えた90通りでは、たとえば「$\{1,2\}$ を A・$\{3,4\}$ を B・$\{5,6\}$ を C」と「$\{3,4\}$ を A・$\{1,2\}$ を B・$\{5,6\}$ を C」を別々に数えている。でも組に名前がなければ、これらは同じ「3つのペアへの分け方」だ。

2人組が3つあり、その並べ替え $3!=6$ 通りが全部同じ分け方を表すので、6で割る。

$$\frac{90}{3!}=\frac{90}{6}=15(\text{通り})$$

まとめ:割るのは「同じ大きさの組」の個数の階乗だ。もし組の人数がすべて違えば、入れ替えても区別がつくので割る必要はない。ここに注意しよう。

発展 — 一歩先へ。 割り算ルート(区別あり ÷ 入れ替え)と相方ルート(直接構成)の一致は、$\frac{90}{3!}=5\times 3\times 1$ という等式の2つの読み方だ。人数の違う組(3人・2人・1人)で割ってはいけない理由も、相方ルートで数えてみれば「そもそも入れ替えの対称性がない」と体で分かる。

$2n$ 人を2人ずつ $n$ 組に分ける一般形は $(2n-1)\times (2n-3)\times \cdots \times 3\times 1$。トーナメントの組合せなどで顔を出す形だ。

別解

(2)は割り算を使わず、「相方さがし」で直接数えることもできる。

6人の中で、いちばん若い人(誰でもよいが、基準を1人決める)に注目する。この人の相方の選び方は、残り5人から1人で $5$ 通り。

1組できたら、残り4人の中でまた基準を1人決める。相方は残り3人から $3$ 通り。

最後の2人は自動的にペアになる。$1$ 通り。

$$5\times 3\times 1=15(\text{通り})$$

割り算なしで、区別のない分け方が直接出た。基準の人は「選ぶ」のではなく「決まっている」(残りの中の特定の1人)から、ダブりが生まれない仕組みだ。

さらに、(1)は $15$ 通りの分け方それぞれに組の名前の付け方 $3!$ を掛けて $15\times 6=90$ 通り、と逆向きにも確かめられる。