気体の熱力学 — 状態方程式・分子運動論・第1法則

温度を一定に保ったまま、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、体積 $6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の気体を、体積 $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ まで圧縮した。圧縮後の圧力を求めよ。

圧力を一定に保ったまま、温度 27 ℃ で体積 $3.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の気体を 127 ℃ まで温めた。温めた後の体積を求めよ。

圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、体積 $6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$、温度 $300\mathrm{K}$ の気体を、圧力 $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、温度 $400\mathrm{K}$ の状態に変えた。変化後の体積を求めよ。

$2.0\mathrm{mol}$ の理想気体を温度 $300\mathrm{K}$、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ に保つ。このときの体積を求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

容積 $2.49\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$ の容器に理想気体を閉じ込めたところ、温度 $300\mathrm{K}$ で圧力は $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ であった。この気体の物質量を求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

温度 $300\mathrm{K}$ の理想気体について、気体分子 1 個あたりの平均運動エネルギーを求めよ。ボルツマン定数を $k=1.38\times 10^{-23}J/K$ とする。また、この値は気体の種類(水素か酸素か)によって変わるか。

単原子分子の理想気体 $2.0\mathrm{mol}$ が温度 $300\mathrm{K}$ にある。この気体の内部エネルギーを求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

容積の変わらない容器に入れた単原子理想気体 $1.0\mathrm{mol}$ に熱を加え、温度を $100\mathrm{K}$ 上昇させた。(1) 気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの増加 (3) 加えた熱量 をそれぞれ求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

なめらかに動くピストン付きの容器で、単原子理想気体 $1.0\mathrm{mol}$ を圧力一定のまま温め、温度を $100\mathrm{K}$ 上昇させた。(1) 気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの増加 (3) 加えた熱量 をそれぞれ求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

理想気体を温度一定のままゆっくり膨張させたところ、気体は $500\mathrm{J}$ の熱を吸収した。(1) 内部エネルギーの変化 (2) 気体がした仕事 をそれぞれ求めよ。

断熱材で囲んだ容器の中の理想気体を、外から $300\mathrm{J}$ の仕事をして圧縮した。(1) 内部エネルギーの変化 (2) 気体の温度は上がるか下がるか を答えよ。

圧力 $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の一定のまま、気体の体積が $3.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ から $5.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ まで膨張した。気体がした仕事を求めよ。

容積の変わらない密閉容器に、温度 $300\mathrm{K}$、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の気体が入っている。日なたに置いたところ温度が $360\mathrm{K}$ まで上がった。このときの圧力を求めよ。

一端を閉じた細いガラス管を水平に置くと、閉じた側に長さ $20\mathrm{cm}$ の空気柱が、長さ $36\mathrm{cm}$ の水銀柱で閉じ込められていた。この管を、閉じた端を上にして鉛直に立てると、空気柱の長さはいくらになるか。大気圧を水銀柱 $76\mathrm{cm}$ 分の圧力($76\mathrm{cmHg}$)とし、温度は一定とする。

温度 $300\mathrm{K}$ の水素分子($1\mathrm{mol}$ あたりの質量 $M=2.0\times 10^{-3}kg/mol$)の二乗平均速度 $\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ を求めよ。また、同じ温度の酸素分子($M=3.2\times 10^{-2}kg/mol$)の二乗平均速度は水素の何倍か。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\sqrt{3.7}=1.9$ とする。

温度 $300\mathrm{K}$ の理想気体がある。分子の平均運動エネルギーを 2 倍にするには、温度を何 K にすればよいか。また、二乗平均速度は何倍になるか。

単原子理想気体 $2.0\mathrm{mol}$ を、圧力一定のまま温度が $150\mathrm{K}$ 上がるまで加熱した。(1) 気体がした仕事 $W$ (2) 内部エネルギーの増加 $\Delta U$ (3) 加えた熱量 $Q$ を求め、$W:\Delta U:Q$ の比を答えよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

容積 $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の容器 A に圧力 $3.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の気体が、容積 $4.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の容器 B に圧力 $1.5\times 10^5\mathrm{Pa}$ の同種の気体が入っている。コックを開いて両者をつなぎ、温度を最初と同じに保ったとき、全体の圧力を求めよ。

気体の状態を、A($1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)→B($3.0\times 10^5$, $2.0\times 10^{-3}$)→C($3.0\times 10^5$, $6.0\times 10^{-3}$)→D($1.0\times 10^5$, $6.0\times 10^{-3}$)→A の順に変化させ、元に戻した。1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を求めよ。

単原子理想気体について、(1) 定積モル比熱 $C_V$ と定圧モル比熱 $C_p$ をそれぞれ求めよ。 (2) $C_p-C_V$ が気体定数 $R$ に等しいこと(マイヤーの関係)を確かめよ。 (3) $2.0\mathrm{mol}$ を定圧で $10\mathrm{K}$ 温めるのに必要な熱量を求めよ。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

断熱容器内の単原子理想気体 $2.0\mathrm{mol}$ を、外から仕事をして圧縮したところ、温度が $20\mathrm{K}$ 上昇した。外から気体にした仕事を求めよ。気体定数を $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

図は、ある一定量の理想気体の等温変化を表す $P$-$V$ グラフである。状態 A は圧力 $3.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、体積 $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ である。(1) 同じ等温線上で体積が $6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の状態 B の圧力を求めよ。 (2) この気体の温度が $300\mathrm{K}$ のとき、物質量は何 mol か。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\frac{600}{2490}=0.24$ とする。

熱気球の球皮の中の空気を、外気と同じ圧力のまま $300\mathrm{K}$ から $400\mathrm{K}$ まで温めた。中の空気の密度は元の何倍になるか。また、気球が浮かぶ理由を密度の言葉で説明せよ。

ある熱機関が 1 サイクルの間に、高温の熱源から $2000\mathrm{J}$ の熱を吸収し、低温側に $1600\mathrm{J}$ の熱を捨てた。(1) 1 サイクルで外部にした正味の仕事 (2) この熱機関の熱効率 を求めよ。

1 辺 $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の分子 $N$ 個の理想気体が入っている。$x$ 軸に垂直な 1 つの壁について、(1) 速度の $x$ 成分が $v_x$ の分子が、この壁に 1 回衝突(弾性衝突)するとき壁が受ける力積の大きさを求めよ。 (2) この分子が時間 $t$ の間にこの壁に衝突する回数を求めよ。 (3) 圧力が $P=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$ と表せることを示せ。ただし $\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$ を用いてよい。

単原子理想気体を、A($1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)→B($3.0\times 10^5$, $2.0\times 10^{-3}$)→C($3.0\times 10^5$, $6.0\times 10^{-3}$)→D($1.0\times 10^5$, $6.0\times 10^{-3}$)→A の長方形サイクルで変化させる。(1) 気体が熱を吸収する過程はどれか。 (2) 吸収した熱の総量 $Q_{in}$ (3) このサイクルの熱効率 を求めよ。

断熱容器が仕切りで 2 室に分けられ、片側(容積 $V$)に温度 $300\mathrm{K}$、圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の理想気体、もう片側(容積 $V$)は真空である。仕切りを取り除いて気体を容器全体(容積 $2V$)に広げた。(1) 気体がした仕事 (2) 膨張後の温度 (3) 膨張後の圧力 を求めよ。また、この結果が「断熱膨張では温度が下がる」という原則と矛盾しない理由を述べよ。

断面積 $S=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ のなめらかなピストン付きシリンダーを水平に置き、内部に温度 $T_0=300\mathrm{K}$、体積 $V_0=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$ の理想気体を閉じ込める。ピストンはばね定数 $k=1.0\times 10^{3}N/m$ のばね(はじめ自然長)で外の壁につながれ、大気圧は $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ である。気体を温めてピストンを $x=0.10\mathrm{m}$ 押し出したとき、(1) 気体の圧力 (2) 気体の温度 (3) 気体がした仕事 を求めよ。

断熱容器が仕切りで同じ容積 $V$ の 2 室に分けられ、どちらにも圧力 $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の単原子理想気体が入っているが、温度は左室 $300\mathrm{K}$、右室 $600\mathrm{K}$ である。仕切りを取り除いて十分時間がたったときの、(1) 全体の温度 (2) 全体の圧力 を求めよ。

断面積 $S=4.9\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ のシリンダーに、質量 $M=1.0\mathrm{kg}$ のなめらかなピストンで気体を閉じ込める。開口部を上にして鉛直に立てたとき、気柱の長さは $20\mathrm{cm}$ であった。このシリンダーを開口部が下になるようにひっくり返すと、気柱の長さはいくらになるか。大気圧を $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、温度は一定とする。

単原子理想気体を状態 A($1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)から状態 B($3.0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $6.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)まで、次の 3 通りの経路で変化させる。経路 1: 定積で昇圧してから定圧で膨張。経路 2: 定圧で膨張してから定積で昇圧。経路 3: $P$-$V$ グラフ上の直線。(1) 各経路で気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの変化 (3) 各経路で吸収した熱量 を求めよ。

単原子理想気体を、A($1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$, $2.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$)→B($3.0\times 10^5$, $2.0\times 10^{-3}$)→C($1.0\times 10^5$, $6.0\times 10^{-3}$)→A の三角形サイクル(B→C は $P$-$V$ グラフ上の直線)で変化させる。(1) 1 サイクルの正味の仕事 (2) B→C の過程で吸収した熱量 (3) このサイクルの熱効率 を求めよ。ただし $P_B{V}_B=P_C{V}_C$ であることを利用してよい。

$1\mathrm{mol}$ の単原子分子理想気体に、次の $4$ つの変化をこの順に行わせる。

$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$: 温度 $T_{\mathrm{H}}=600\mathrm{K}$ に保ったまま、体積を $2$ 倍にする(等温膨張) $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$: 断熱的に膨張させ、温度を $T_{\mathrm{L}}=300\mathrm{K}$ にする $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$: 温度 $T_{\mathrm{L}}$ に保ったまま圧縮する $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$: 断熱的に圧縮して、はじめの状態にもどす

等温変化で気体がする仕事は $W=nRT{\log }_e\frac{V_{\text{後}}}{V_{\text{前}}}$、断熱変化では $T{V}^{\gamma -1}$ が一定である。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、${\log }_{e}2=0.693$ とする。

(1) $\mathrm{A}\to \mathrm{B}$ で気体が吸収する熱を求めよ。

(2) $\mathrm{B}\to \mathrm{C}$ と $\mathrm{D}\to \mathrm{A}$ の関係から、$\frac{V_{\mathrm{C}}}{V_{\mathrm{D}}}=\frac{V_{\mathrm{B}}}{V_{\mathrm{A}}}$ となることを示せ。

(3) $\mathrm{C}\to \mathrm{D}$ で放出する熱を求め、このサイクルの熱効率を求めよ。

(4) (2) の結果を使って、効率が $1-\frac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{H}}}$ となることを、体積比を用いずに示せ。

断熱材でできたシリンダーを、なめらかに動く断熱のピストンで左右 $2$ つの室に分ける。はじめ、どちらの室にも同じ理想気体が入っていて、圧力 $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、体積 $V_0=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$、温度 $T_0=300\mathrm{K}$ である。気体は単原子分子とする。

右室の壁だけは熱をよく通し、外の恒温槽(温度 $T_0$)と接している。したがって右室の気体はつねに $T_0$ に保たれる。

左室に電熱線を入れてゆっくり加熱すると、ピストンが右へ動き、右室の体積が $0.50\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ になったところで加熱をやめた。${\log }_{e}2=0.693$ とする。

(1) このときの右室の圧力を求めよ。また左室の圧力はいくらか。

(2) 左室の体積と温度を求めよ。

(3) 左室の気体がした仕事を求めよ。

(4) 左室に与えた熱を求めよ。また右室が外の恒温槽に出した熱はいくらか。

容器の壁に、分子の大きさに比べて十分大きく、しかし容器に比べて十分小さい穴をあける。単位時間に穴から出る分子の数は、分子の数密度と平均の速さの積に比例する。

同じ温度・同じ圧力の $2$ 種類の気体では、数密度が同じなので、漏れる速さは平均の速さの比になる。分子の速さは $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ 程度なので、モル質量 $M$ の平方根に反比例する。

(1) 水素($M=2.0g/mol$)と酸素($M=32g/mol$)では、漏れる速さは何倍違うか。

(2) ウランの濃縮では、六フッ化ウランの気体を使う。${}^{235}\mathrm{U}$ を含むものは $M=349$、${}^{238}\mathrm{U}$ を含むものは $M=352$ である。$1$ 回穴を通すと、${}^{235}$ の割合はもとの何倍になるか。$\sqrt{352/349}=1.00429$ とする。

(3) 天然のウランでは ${}^{235}$ が $0.72\%$、${}^{238}$ が $99.28\%$ である。原子炉用の $3.0\%$ にするには、$(2)$ の操作を何回くり返す必要があるか。${\log }_e$ を用いて求めよ。${\log }_{e}4.264=1.4504$、${\log }_{e}1.00429=0.00428$ とする。

(4) この方法が「濃縮は技術的に難しい」といわれる理由を、$(2)$ と $(3)$ の結果から説明せよ。

大気の温度がどの高さでも $T=300\mathrm{K}$ で一定だとする。高さ $h$ での圧力を $P(h)$、空気のモル質量を $M=2.9\times 10^{-2}kg/mol$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

高さ $h$ から $h+\Delta h$ までの、断面積 $S$ の薄い空気の層を考える。

(1) この層にはたらく力のつり合いから、$P(h+\Delta h)-P(h)$ を、その層の空気の密度 $\rho$ を用いて表せ。

(2) 理想気体の状態方程式から、密度が $\rho =\frac{MP}{RT}$ と書けることを示せ。

(3) (1) と (2) から $\frac{\Delta P}{\Delta h}=-\frac{Mg}{RT}P$ が得られる。この関係を満たす関数は $P(h)=P_0{e}^{-h/H}$ の形であり、$H=\frac{RT}{Mg}$ である。$H$ の値を求めよ。

(4) 富士山の山頂($h=3776\mathrm{m}$)での気圧は、地上の何 $\%$ か。$e^{-0.431}=0.650$ とする。

高温の熱源(温度 $T_{\mathrm{H}}=600\mathrm{K}$)と低温の熱源(温度 $T_{\mathrm{L}}=300\mathrm{K}$)のあいだで働く熱機関を考える。

いま、中間の温度 $T_{\mathrm{M}}=400\mathrm{K}$ の熱源を用意し、次のように $2$ 台の機関を直列につなぐ。

機関 $1$: $T_{\mathrm{H}}$ から熱を受け取り、仕事をして、残りを $T_{\mathrm{M}}$ に捨てる 機関 $2$: 機関 $1$ が捨てた熱をそのまま受け取り、仕事をして、残りを $T_{\mathrm{L}}$ に捨てる

どちらもカルノー機関で、効率は $1-\frac{(\text{低温側の温度})}{(\text{高温側の温度})}$ である。

(1) 機関 $1$、機関 $2$ の効率をそれぞれ求めよ。

(2) 機関 $1$ が $Q_{\mathrm{H}}=3000\mathrm{J}$ を受け取ったとき、それぞれの機関がする仕事と、最後に捨てられる熱を求めよ。

(3) $2$ 台を合わせた効率を求め、$T_{\mathrm{H}}$ と $T_{\mathrm{L}}$ のあいだで直接働く $1$ 台のカルノー機関の効率と比べよ。

(4) 中間の温度 $T_{\mathrm{M}}$ をどう選んでも合計の効率が変わらないことを、文字式で示せ。

気体中を伝わる音の速さは

$$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$

で与えられる。ここで $\gamma$ は比熱比 $\frac{C_P}{C_V}$、$M$ はモル質量である。

空気を二原子分子とみなすと $\gamma =1.4$、$M=2.9\times 10^{-2}kg/mol$ である。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、$\sqrt{1.4}=1.18$ とする。

(1) $T=300\mathrm{K}$ での音速を求めよ。

(2) ニュートンは、音波の圧縮と膨張が等温的に起こると考えて計算した。これは上の式で $\gamma$ を $1$ とすることにあたる。その値を求め、実測値 $346m/s$ と比べよ。

(3) 実際には音波の圧縮・膨張は断熱的に起こる。その理由を述べよ。

(4) ヘリウム($\gamma =\frac{5}{3}$、$M=4.0\times 10^{-3}kg/mol$)中の音速を求めよ。ヘリウムを吸って声が変わる理由を説明せよ。

理想気体の断熱変化について、次の順に考える。定積モル比熱を $C_V$、比熱比を $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$、マイヤーの関係を $C_P-C_V=R$ とする。

(1) 断熱変化では $Q=0$ である。$n$ mol の気体が体積を $\Delta V$ だけ変えたとき、第 $1$ 法則が $n{C}_V\Delta T=-P\Delta V$ となることを示せ。

(2) 状態方程式 $PV=nRT$ の両辺の変化を考えると $P\Delta V+V\Delta P=nR\Delta T$ が成り立つ。(1) と合わせて、$\frac{\Delta P}{P}=-\gamma \frac{\Delta V}{V}$ を導け。

(3) (2) の関係から $P{V}^{\gamma }$ が一定に保たれること、したがって $T{V}^{\gamma -1}$ も一定になることを説明せよ。

(4) ディーゼル機関では、空気を圧縮比 $15$(体積を $\frac{1}{15}$)まで断熱圧縮する。$300\mathrm{K}$ の空気($\gamma =1.4$)の温度は何 K になるか。$15^{0.4}=2.95$ とする。軽油の発火点は約 $500\mathrm{K}$ である。

天体が大気を保てるかどうかは、分子の熱運動の速さと脱出速度の比で決まる。分子の速さが脱出速度に近いと、上層から少しずつ分子が逃げていき、長い時間のうちに大気を失う。

目安として、分子の二乗平均速度が脱出速度の $\frac{1}{6}$ を超えると、その気体は数億年のうちに失われるとされる。

分子の二乗平均速度は $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$、脱出速度は $\sqrt{2g{R}_{\text{天体}}}$ である。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、大気の温度を $T=300\mathrm{K}$ とする。

(1) 水素分子($M=2.0\times 10^{-3}kg/mol$)と酸素分子($M=3.2\times 10^{-2}kg/mol$)の二乗平均速度を求めよ。

(2) 地球($g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、半径 $6.4\times 10^6\mathrm{m}$)の脱出速度を求めよ。

(3) 地球は水素と酸素のどちらを保てるか。目安に照らして答えよ。

(4) 月($g=1.6m/{\mathrm{s}}^2$、半径 $1.74\times 10^6\mathrm{m}$)ではどうか。月に大気がほとんどない理由を説明せよ。