三角形サイクルの熱効率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜め直線を含むサイクルの Q 計算は一見重いが、この問題は仕掛けがある——$P_B{V}_B=P_C{V}_C=600\mathrm{J}$、つまり B と C は同じ温度である(直線で結んでいるだけで等温変化ではないが、始点と終点の温度は等しい)。すると $\Delta U_{BC}=0$ が使える。

① 正味の仕事(三角形の面積)。

$$W=\frac{1}{2}\times (3.0-1.0)\times 10^5\times (6.0-2.0)\times 10^{-3}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=400\mathrm{J}$$

② B→C の熱。 $P_B{V}_B=P_C{V}_C$ より $\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}\Delta (PV)=0$。B→C で気体がした仕事は直線の下の台形:

$$W_{BC}=\frac{(3.0+1.0)\times 10^5}{2}\times 4.0\times 10^{-3}=800\mathrm{J}$$

第 1 法則より

$$Q_{BC}=\Delta U_{BC}+W_{BC}=0+800=800\mathrm{J}(吸収)$$

③ 熱効率。 A→B(定積昇圧)は $Q_{AB}=\frac{3}{2}V\Delta P=\frac{3}{2}\times 2.0\times 10^{-3}\times 2.0\times 10^5=600\mathrm{J}$(吸収)。C→A(定圧圧縮)は $Q_{CA}=\frac{5}{2}P\Delta V=-1000\mathrm{J}$(放出)。

$$Q_{in}=600+800=1400\mathrm{J},e=\frac{W}{Q_{in}}=\frac{400}{1400}=\frac{2}{7}\approx 0.29$$

まとめ 収支の検算: $Q_{in}-Q_{out}=1400-1000=400=W$ ✓。斜め線の過程は「$\Delta U$ を $\Delta (PV)$ で、$W$ を面積で」書けば、等温・定圧のどれでもなくても第 1 法則だけで処理できる。過程の名前が付いていなくても、$Q=\Delta U+W$ は常に使える——これがこの問題の学びの核心である。

別解

「どこまで吸熱か」を考える発展ルート。 実は B→C の途中では、はじめ吸熱・後半は放熱している(温度は途中の $V=4.0\times 10^{-3}$、$PV=800\mathrm{J}$ の点で最大になり、その後下がる)。過程全体の合計が $+800\mathrm{J}$ というだけである。

最難関大では「B→C のどの点まで吸熱が続くか」を問う出題もある(吸熱の境目は温度最大点より少し先になる)。「過程の合計」と「瞬間ごとの出入り」は別物——この区別を知っておくと、一段深い設問にも動じない。