物理 / 気体の熱力学

仕事は経路による(状態量と過程量)

★★★ 応用P-Vグラフ熱力学第1法則

問題

単原子理想気体を状態 A( $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ , $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ )から状態 B( $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ , $6.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ )まで、次の 3 通りの経路で変化させる。経路 1: 定積で昇圧してから定圧で膨張。経路 2: 定圧で膨張してから定積で昇圧。経路 3: $P$ - $V$ グラフ上の直線。(1) 各経路で気体がした仕事 (2) 内部エネルギーの変化 (3) 各経路で吸収した熱量を求めよ。

同じ A→B を 3 通りの経路で変化させる(V: 10⁻³ m³、P: 10⁵ Pa)

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仕事は「線の下の面積」だから、同じ A→B でも通り道で変わる。一方、内部エネルギーは状態の量(温度)だけで決まる。この対比を意識しながら、3 つの経路の面積を読み比べてみよう。

解答・解説

方針

仕事=線の下の面積: 高圧で膨張(1200)/低圧で膨張(400)/台形(800)。ΔU=(3/2)Δ(PV) は始点終点だけで決まる。Q=ΔU+W は経路ごと。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この問題の主役は数値ではなく概念の対比である——内部エネルギーは「状態量」(現在地だけで決まる)、仕事と熱は「過程量」(通り道で決まる)。 $P$ - $V$ グラフの面積がそれを目に見える形にする。

① 各経路の仕事(線の下の面積)。

経路 1(上ルート: 先に昇圧): 膨張は高圧 $3.0 \times 1 0^{5}$ で起こる。 $W_{1} = 3.0 \times 1 0^{5} \times 4.0 \times 1 0^{- 3} = 1200 J$
経路 2(下ルート: 先に膨張): 膨張は低圧 $1.0 \times 1 0^{5}$ で起こる。 $W_{2} = 1.0 \times 1 0^{5} \times 4.0 \times 1 0^{- 3} = 400 J$
経路 3(直線): 台形の面積。 $W_{3} = \frac{( 1.0 + 3.0 ) \times 1 0 ^{5}}{2} \times 4.0 \times 1 0^{- 3} = 800 J$

② 内部エネルギーの変化(経路によらない)。

$Δ U = \frac{3}{2} (P_{B} V_{B} - P_{A} V_{A}) = \frac{3}{2} (1800 - 200) = 2400 J (3 経路とも共通)$

③ 熱量。 第 1 法則 $Q = Δ U + W$ を経路ごとに:

$Q_{1} = 2400 + 1200 = 3600, Q_{2} = 2400 + 400 = 2800, Q_{3} = 2400 + 800 = 3200 J$

上ルートと下ルートの仕事の差=はさまれた長方形の面積(V: 10⁻³ m³、P: 10⁵ Pa)

まとめ 同じ出発地と目的地でも、通り道で $W$ も $Q$ も違う——違いはぴったり面積の差である。そして「行きと帰りで経路を変える」とその面積差が回収できる、というのがサイクル(囲む面積=正味の仕事)の正体だった。状態量と過程量の区別は熱力学の文法であり、これが腑に落ちればサイクル問題は「面積の読み比べ」に還元される。

答

(1) $W_{1} = 1200$ 、 $W_{2} = 400$ 、 $W_{3} = 800 J$ (2) どの経路も $Δ U = \frac{3}{2} (P_{B} V_{B} - P_{A} V_{A}) = 2400 J$ (3) $Q_{1} = 3600$ 、 $Q_{2} = 2800$ 、 $Q_{3} = 3200 J$

別解

サイクルとして差を読むルート。 経路 1 で行って経路 2 で帰ると、長方形サイクル(標準の周回)そのものになる。1 周の仕事は $W_{1} - W_{2} = 1200 - 400 = 800 J$ ——これは囲む長方形の面積 $2.0 \times 1 0^{5} \times 4.0 \times 1 0^{- 3}$ と一致する。

「経路による差=囲む面積」——片道の比較問題と 1 周のサイクル問題は、同じ事実の 2 つの見え方である。

ポイント

U は状態量、W・Q は過程量
ΔU=(3/2)Δ(PV) は始点終点だけ
経路の差=囲む面積

よくある間違い

ΔU も経路で変わるとする
経路 2 の膨張を高圧側で計算する
直線経路の面積を長方形で読む